初中数学圆的综合题试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别交于 $D$， $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$．

（1）判断 $\mathit{DH}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$为 $\mathit{CE}$的中点；

（3）若 $\mathit{BC}=10$， $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在△ ABC中，∠ C＝90°， D、 F是 AB边上两点，以 DF为直径的⊙ O与 BC相交于点 E，连接 EF，∠ OFE＝ $\frac{1}{2}$ ∠ A．过点 F作 FG⊥ BC于点 G，交⊙ O于点 H，连接 EH．

（1）求证： BC是⊙ O的切线；

（2）连接 ED，过点 E作 EQ⊥ AB，垂足为 Q，△ EQD和△ EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；

（3）当 BO＝5， BE＝4时，求△ EHG的面积．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ．

（1）延长 $\mathit{DE}$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，延长 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 交于点 $P$ ，如图1．求证： $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ；

（2）过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ，且点 $O$ 和点 $A$ 都在 $\mathit{DE}$ 的左侧，如图2．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{DH}=1$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

（1）求证：AB是⊙O的直径；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；

（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．

如图，点 $A$是 $\odot O$直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$在 $\odot O$上， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为2，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

已知是的直径，点在上，点在半径上（不与点，重合）．

（1）如图1，若，，求的度数．

（2）如图2，点在线段上（不与，重合），、的延长线分别交于点、，连接，，点是的延长线与的交点，若，，，，求的长．

如图，线段 是 的直径，弦 于点 ，点 是 上任意一点， ， ．

（1）求 的半径 的长度；

（2）求 ；

（3）直线 交直线 于点 ，直线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AC}$为直径，过点 $A$作圆 $O$的切线交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$，过 $\mathit{AC}$的三等分点 $F$（靠近点 $C)$作 $\mathit{CE}$的平行线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）求证： $C{D}^2=\mathit{BE}\cdot \mathit{BC}$；

（3）当 $\mathit{CG}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=\frac{9}{2}$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径

（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）求证：△ABD∽△DBE；

（3）若 $=\cos B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AE＝4，求CD．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求 $\angle \mathit{CDE}$的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若 $\mathit{AC}＝2\sqrt{5}\mathit{DE}$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{ABD}$的值．

数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝130°$，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝150°$， $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{BC}＝5$，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝\alpha （90°＜\alpha ＜180°）$， $\mathit{AB}＝m$， $\mathit{BC}＝n$，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度 $（0°＜2\beta ＜180°）$得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中， $\angle \mathit{ACB}＝\angle \mathit{DCO}＝90°$，O为AB的中点．

（1）求证： $\angle B＝\angle \mathit{ACD}$．

（2）已知点E在AB上，且 $B{C}^2＝\mathit{AB}•\mathit{BE}$．

（i）若 $\tan \angle \mathit{ACD}=\frac{3}{4}$， $\mathit{BC}＝10$，求CE的长；

（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $D$、 $E$为 $\odot O$上位于 $\mathit{AB}$异侧的两点，连接 $\mathit{BD}$并延长至点 $C$，使得 $\mathit{CD}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AC}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$．

（1）证明： $\angle E=\angle C$；

（2）若 $\angle E=55°$，求 $\angle \mathit{BDF}$的度数；

（3）设 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，若 $\mathit{DF}=4$， $\cos B=\frac{2}{3}$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点，求 $\mathit{EG}·\mathit{ED}$的值．

在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为 $A(-\sqrt{3},0)$、 $B(\sqrt{3},0)$、

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点 $E（0\mathit{，﹣}1）$的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以 $2\sqrt{7}$为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，以 BC为直径的⊙ O交斜边 AB于点 M，若 H是 AC的中点，连接 MH．

（1）求证： MH为⊙ O的切线．

（2）若 $\mathit{MH}=\frac{3}{2},$ $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$ ，求⊙ O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点 A、 B作⊙ O的切线，两切线交于点 D， AD与⊙ O相切于 N点，过 N点作 NQ⊥ BC，垂足为 E，且交⊙ O于 Q点，求线段 NQ的长度．