初中数学作图—复杂作图解答题

在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{AD}$ 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在 $\mathit{BC}$ 上找出一点 $M$ ，使点 $M$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点；

（2）如图2，在 $\mathit{BD}$ 上找出一点 $N$ ，使点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 的一个三等分点．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle C=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}=1$．以 $\mathit{AD}$为腰作等腰 $\mathit{\Delta ADE}$，使 $\angle \mathit{ADE}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DC}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{AF}$的长．

等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，为，请画出图形，并直接写出点到的距离．

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A\text{'}\mathit{BC}$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A\text{'}\mathit{BC}$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A\text{'}D$ ，则直线 $A\text{'}D$ 与 $l$ 的位置关系是 　　．

如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：

①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点，作射线；

②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点．

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段与的大小关系是　　；

（2）过点作交的延长线于点，若，，求的值．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图，点和点在内部．

（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$．

（1）尺规作图：作 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆 $\odot O$；作 $\angle \mathit{ACB}$的角平分线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在中，，，．

（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．

①作的平分线，交斜边于点；

②过点作的垂线，垂足为点．

（2）在（1）作出的图形中，求的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle B=40°$．

（1）在图中，用尺规作出 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆 $O$，并标出 $\odot O$与边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的切点 $D$， $E$， $F$（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$，求 $\angle \mathit{EFD}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）作 $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$边于点 $O$，再以点 $O$为圆心， $\mathit{OB}$的长为半径作 $\odot O$；（要求：不写做法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，直接写出结果．

如图，已知，点在边上．请用尺规作图法求作，使与边相切．（保留作图痕迹，不写作法）

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 和点 $A^{\text{'}}$ ，如图．

（1）以点 $A^{\text{'}}$ 为一个顶点作△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，使△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\backsim \mathit{\Delta ABC}$ ，且△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 的面积等于 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AC}$ 的中点， $D^{\text{'}}$ 、 $E^{\text{'}}$ 、 $F^{\text{'}}$ 分别是你所作的△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 三边 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ 的中点，求证： $\mathit{\Delta DEF}\backsim$ △ $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ ．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

如图，在Rt△ABC中， $\angle \mathit{BAC}＝90°$

（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．