初中数学旋转的性质试题

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AB}$边上的一点，点 $F$为对角线 $\mathit{BD}$上的一点，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$．

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

①如图1，请直接写出 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系　 $\mathit{DF}=\sqrt{2}\mathit{AE}$　；

②将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}$，猜想 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{BC}=\mathit{mAB}$，其它条件都不变，将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $E^{\text{'}}B{F}^{\text{'}}$，连接 $A{E}^{\text{'}}$， $D{F}^{\text{'}}$，请在图3中画出草图，并直接写出 $A{E}^{\text{'}}$与 $D{F}^{\text{'}}$的数量关系．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=3$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $B$按顺时针方向旋转得到矩形 $\mathit{GBEF}$，点 $A$落在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$上，连接 $\mathit{CE}$，则 $\mathit{CE}$的长是　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$，点 $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上的动点（不与点 $B$、点 $C$重合），连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{OP}$，将线段 $\mathit{OP}$绕点 $P$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．

（1）如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出线段 $\mathit{BQ}$与 $\mathit{CP}$的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$在 $\mathit{CB}$延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上时，若 $\angle \mathit{BPO}=15°$， $\mathit{BP}=4$，请求出 $\mathit{BQ}$的长

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DC}=\mathit{EC}$，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$，点 $M$、 $N$、 $P$分别是 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PN}$、 $\mathit{MN}$．

（1） $\mathit{BE}$与 $\mathit{MN}$的数量关系是　　；

（2）将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $\mathit{CB}=6$， $\mathit{CE}=2$，在将图1中的 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转一周的过程中，当 $B$、 $E$、 $D$三点在一条直线上时， $\mathit{MN}$的长度为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=\sqrt{2}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$顺时针方向旋转 $60°$到△ $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}$的位置，连接 $C\text{'}B$，则 $C\text{'}B=$　       　．

如图， $C$为半圆内一点， $O$为圆心，直径 $\mathit{AB}$长为 $2\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BOC}=60°$， $\angle \mathit{BCO}=90°$，将 $\mathit{\Delta BOC}$绕圆心 $O$逆时针旋转至△ $B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$，点 $C\text{'}$在 $\mathit{OA}$上，则边 $\mathit{BC}$扫过区域（图中阴影部分）的面积为　      　 $c{m}^2$．（结果保留 $\pi )$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{BAD}=60°$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，连接 $\mathit{AC}$分别交 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$于点 $M$、 $N$，求证： $\mathit{MN}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta EDF}$以点 $D$为旋转中心旋转，其两边 $\mathit{DE}\text{'}$、 $\mathit{DF}\text{'}$分别与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $G$、 $P$，连接 $\mathit{GP}$，当 $\mathit{\Delta DGP}$的面积等于 $3\sqrt{3}$时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$是对角线 $\mathit{BD}$上两点，且 $\angle \mathit{EAF}=45°$，将 $\mathit{\Delta ADF}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$后，得到 $\mathit{\Delta ABQ}$，连接 $\mathit{EQ}$，求证：

（1） $\mathit{EA}$是 $\angle \mathit{QED}$的平分线；

（2） $E{F}^2=B{E}^2+D{F}^2$．

如图，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $120°$得到 $\mathit{\Delta EDC}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．则下列结论：

① $\mathit{AC}=\mathit{AD}$；② $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$；③四边形 $\mathit{ACED}$是菱形．

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．0B．1C．2D．3

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{AD}$，将线段 $\mathit{AD}$绕点 $A$旋转至 $\mathit{AE}$，使得 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{BAC}$， $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{GF}$， $\mathit{GH}$．

（1）求证： $\mathit{GH}=\mathit{GF}$；

（2）试说明 $\angle \mathit{FGH}$与 $\angle \mathit{BAC}$互补．

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAD}=60°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{EAF}=30°$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图2，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$后得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AD}$重合），请直接写出 $\angle E\text{'}\mathit{AF}=$　   　度，线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系为　     　．

（2）如图3，当点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $E$、 $F$是边 $\mathit{BC}$上的两点， $\angle \mathit{EAF}=30°$， $\mathit{BE}=1$，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AC}$重合），连接 $\mathit{EE}\text{'}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{EE}\text{'}$交于点 $N$，过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{MN}$，求线段 $\mathit{MN}$的长度．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，四边形 $\mathit{ADEF}$是正方形，点 $B$、 $C$分别在边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AF}$上，此时 $\mathit{BD}=\mathit{CF}$， $\mathit{BD}\perp \mathit{CF}$成立．

（1）当 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$时，如图2， $\mathit{BD}=\mathit{CF}$成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $45°$时，如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{CF}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{BD}\perp \mathit{CF}$；

②当 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=3\sqrt{2}$时，求线段 $\mathit{DH}$的长．

对于平面图形上的任意两点 $P$， $Q$，如果经过某种变换得到新图形上的对应点 $P\text{'}$， $Q\text{'}$，保持 $\mathit{PQ}=P\text{'}Q\text{'}$，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是 $($　　 $)$

A．平移B．旋转C．轴对称D．位似

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$旋转至矩形 $\mathit{AEFG}$的位置，此时点 $D$恰好与 $\mathit{AF}$的中点重合， $\mathit{AE}$交 $\mathit{CD}$于点 $H$，若 $\mathit{BC}=2\sqrt{3}$，则 $\mathit{HC}$的长为 $($　　 $)$

A．4B． $2\sqrt{3}$C． $3\sqrt{3}$D．6