初中数学旋转的性质试题

（操作发现）

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $90°$，点 $B$的对应点为 $B\text{'}$，点 $C$的对应点为 $C\text{'}$，连接 $\mathit{BB}\text{'}$；

（2）在（1）所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$　     　．

（问题解决）

如图②，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=7$，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，且 $\angle \mathit{APC}=90°$， $\angle \mathit{BPC}=120°$，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将 $\mathit{\Delta APC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $60°$，得到△ $\mathit{AP}\text{'}B$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，寻找 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$三条线段之间的数量关系；

想法二：将 $\mathit{\Delta APB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $60°$，得到△ $\mathit{AP}\text{'}C\text{'}$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，寻找 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$三条线段之间的数量关系．

$\dots$

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

（灵活运用）

如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $E$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=2$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$为常数），求 $\mathit{BD}$的长（用含 $k$的式子表示）．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，若 $\angle \mathit{EBF}=45°$，则 $\mathit{\Delta EDF}$的周长等于　        　．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得△ $A_1{B}_{1}C$，当 $A_1$落在 $\mathit{AB}$边上时，连接 $B_{1}B$，取 $B{B}_1$的中点 $D$，连接 $A_{1}D$，则 $A_{1}D$的长度是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{7}$B． $2\sqrt{2}$C．3D． $2\sqrt{3}$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$， $D$是边 $\mathit{AB}$上一动点 $(A$、 $B$两点除外），将 $\mathit{\Delta CAD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转角 $\alpha$得到 $\mathit{\Delta CEF}$，其中点 $E$是点 $A$的对应点，点 $F$是点 $D$的对应点．

（1）如图1，当 $\alpha =90°$时， $G$是边 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{BG}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{GF}$．求证： $\mathit{GF}//\mathit{AC}$；

（2）如图2，当 $90°⩽\alpha ⩽180°$时， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$相交于点 $M$．

①当点 $M$与点 $C$、 $D$不重合时，连接 $\mathit{CM}$，求 $\angle \mathit{CMD}$的度数；

②设 $D$为边 $\mathit{AB}$的中点，当 $\alpha$从 $90°$变化到 $180°$时，求点 $M$运动的路径长．

如图， $\mathit{BD}$为正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{DBC}$，交 $\mathit{DC}$与点 $E$，将 $\mathit{\Delta BCE}$绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{\Delta DCF}$，若 $\mathit{CE}=1\mathit{cm}$，则 $\mathit{BF}=$　    　 $\mathit{cm}$．

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$\mathit{AA}\text{'}=\mathit{BB}\text{'}$ $\mathit{AA}\text{'}//\mathit{BB}\text{'}$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$\mathit{AB}=A\text{'}B\text{'}$；对应线段 $\mathit{AB}$和 $A\text{'}B\text{'}$所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

问题背景：

如图①，在四边形 $\mathit{ADBC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，探究线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $\mathit{\Delta BCD}$绕点 $D$，逆时针旋转 $90°$到 $\mathit{\Delta AED}$处，点 $B$， $C$分别落在点 $A$， $E$处（如图② $)$，易证点 $C$， $A$， $E$在同一条直线上，并且 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，所以 $\mathit{CE}=\sqrt{2}\mathit{CD}$，从而得出结论： $\mathit{AC}+\mathit{BC}=\sqrt{2}\mathit{CD}$．

简单应用：

（1）在图①中，若 $\mathit{AC}=\sqrt{2}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}=$　　．

（2）如图③， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot$上， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$，求 $\mathit{CD}$的长．

拓展规律：

（3）如图④， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，若 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n(m<n)$，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）

（4）如图⑤， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$为 $\mathit{AB}$的中点，若点 $E$满足 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $Q$为 $\mathit{AE}$的中点，则线段 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AC}$的数量关系是　　．

思维启迪：

（1）如图1， $A$， $B$两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$， $B$间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$点的点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $P$（点 $P$可以直接到达 $A$点），利用工具过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$，此时测得 $\mathit{CD}=200$米，那么 $A$， $B$间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，且 $\mathit{AE}<\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，把点 $E$在 $\mathit{AC}$边上时 $\mathit{\Delta ADE}$的位置作为起始位置（此时点 $B$和点 $D$位于 $\mathit{AC}$的两侧），设旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$在起始位置时，猜想： $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $\alpha =90°$时，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上，请判断 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $\alpha =150°$时，若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{DE}=1$，请直接写出 $P{C}^2$的值．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}(\frac{1}{2}\mathit{AC}<\mathit{BC}<\mathit{AC})$绕点 $C$顺时针旋转得 $\mathit{\Delta DEC}$，射线 $\mathit{AB}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $F$．

（1） $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{BCE}$的关系是　　；

（2）如图2，当旋转角为 $60°$时，点 $D$，点 $B$与线段 $\mathit{AC}$的中点 $O$恰好在同一直线上，延长 $\mathit{DO}$至点 $G$，使 $\mathit{OG}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{GC}$．

① $\angle \mathit{AFD}$与 $\angle \mathit{GCD}$的关系是　　，请说明理由；

②如图3，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{CE}=4$，求线段 $\mathit{AE}$的长度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$，得到 $\mathit{\Delta ADE}$．若 $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，则线段 $\mathit{CD}$的长度为　　．

如图，点 $E$， $F$分别在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{CF}$，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（点 $P$不与点 $F$重合）．将线段 $\mathit{EP}$绕点 $E$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{EG}$，过点 $E$作 $\mathit{GD}$的垂线 $\mathit{QH}$，垂足为点 $H$，交射线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{QC}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$不是 $\mathit{CD}$的中点，点 $P$在线段 $\mathit{BF}$上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为6， $\mathit{AB}=3\mathit{DE}$， $\mathit{QC}=1$，请直接写出线段 $\mathit{BP}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，连接 $\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\alpha$得 $\mathit{\Delta AEF}$，连接 $\mathit{CF}$， $O$为 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OD}$．

（1）如图1，当 $\alpha =45°$时，请直接写出 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OD}$的关系（不用证明）．

（2）如图2，当 $45°<\alpha <90°$时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当 $\alpha =360°$时，若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，请直接写出点 $O$经过的路径长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=100°$，在同一平面内，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$顺时针旋转到△ $A{B}_1{C}_1$的位置，连接 $B{B}_1$，若 $B{B}_1//A{C}_1$，则 $\angle \mathit{CA}{C}_1$的度数是 $($　　 $)$

A． $10°$B． $20°$C． $30°$D． $40°$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形，连接 $\mathit{AD}$，取 $\mathit{AD}$的中点 $P$，连接 $\mathit{BP}$并延长至点 $M$，使 $\mathit{PM}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{EM}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$在 $\mathit{BC}$上，点 $E$在 $\mathit{AC}$上时，则 $\mathit{\Delta AEM}$的形状为　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转至图2的位置，请判断 $\mathit{\Delta AEM}$的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$由图1位置绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <360°)$，当 $\mathit{ME}=\sqrt{3}\mathit{CD}$时，请直接写出 $\alpha$的值．