初中数学平行线分线段成比例解答题

问题1：如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta DEC}$的面积为 $S\text{'}$．

（1）当 $\mathit{AD}=3$时， $\frac{S\text{'}}{S}=$　　；

（2）设 $\mathit{AD}=m$，请你用含字母 $m$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

问题2：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$．设 $\mathit{AE}=n$，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta EFC}$的面积为 $S\text{'}$．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

如图， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线， $D$是线段 $\mathit{AM}$上一点（不与点 $A$重合）． $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{CE}//\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$与 $M$重合时，求证：四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$不与 $M$重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，若 $\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$，且 $\mathit{BH}=\mathit{AM}$．

①求 $\angle \mathit{CAM}$的度数；

②当 $\mathit{FH}=\sqrt{3}$， $\mathit{DM}=4$时，求 $\mathit{DH}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A4$的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2}:1$，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{DC}$边上一定点，且 $\mathit{CP}=\mathit{BC}$，如图所示．

（1）如图①，求证： $\mathit{BA}=\mathit{BP}$；

（2）如图②，点 $Q$在 $\mathit{DC}$上，且 $\mathit{DQ}=\mathit{CP}$，若 $G$为 $\mathit{BC}$边上一动点，当 $\mathit{\Delta AGQ}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GB}}$的值；

（3）如图③，已知 $\mathit{AD}=1$，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$， $T$为 $\mathit{BF}$的中点， $M$、 $N$分别为线段 $\mathit{PF}$与 $\mathit{AB}$上的动点，且始终保持 $\mathit{PM}=\mathit{BN}$，请证明： $\mathit{\Delta MNT}$的面积 $S$为定值，并求出这个定值．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$， $P$为射线 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{BP}$为边作正方形 $\mathit{BPEF}$，使点 $F$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{EC}$．

（1）如图1，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，求证： $\mathit{EA}=\mathit{EC}$；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{AC}$，判断 $\mathit{\Delta ACE}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{AC}$，当 $\mathit{EP}$平分 $\angle \mathit{AEC}$时，设 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BP}=b$，求 $a:b$及 $\angle \mathit{AEC}$的度数．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$， $\mathit{BD}=16\mathit{cm}$，动点 $N$从点 $D$出发，沿线段 $\mathit{DB}$以 $2\mathit{cm}/s$的速度向点 $B$运动，同时动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BA}$以 $1\mathit{cm}/s$的速度向点 $A$运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为 $t\left(s\right)(t>0)$，以点 $M$为圆心， $\mathit{MB}$长为半径的 $\odot M$与射线 $\mathit{BA}$，线段 $\mathit{BD}$分别交于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{EN}$．

（1）求 $\mathit{BF}$的长（用含有 $t$的代数式表示），并求出 $t$的取值范围；

（2）当 $t$为何值时，线段 $\mathit{EN}$与 $\odot M$相切？

（3）若 $\odot M$与线段 $\mathit{EN}$只有一个公共点，求 $t$的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的顶点 $O$是坐标原点，点 $A$的坐标为 $(6,0)$，点 $B$的坐标为 $(0,8)$，点 $C$的坐标为 $(-2\sqrt{5}$， $4)$，点 $M$， $N$分别为四边形 $\mathit{OABC}$边上的动点，动点 $M$从点 $O$开始，以每秒1个单位长度的速度沿 $O\to A\to B$路线向终点 $B$匀速运动，动点 $N$从 $O$点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 $O\to C\to B\to A$路线向终点 $A$匀速运动，点 $M$， $N$同时从 $O$点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 $t$秒 $(t>0)$， $\mathit{\Delta OMN}$的面积为 $S$．

（1）填空： $\mathit{AB}$的长是　　， $\mathit{BC}$的长是　　；

（2）当 $t=3$时，求 $S$的值；

（3）当 $3<t<6$时，设点 $N$的纵坐标为 $y$，求 $y$与 $t$的函数关系式；

（4）若 $S=\frac{48}{5}$，请直接写出此时 $t$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于 $C$， $\mathit{BE}//\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\angle \mathit{ABE}$的平分线；

（2）若 $\mathit{DC}=8$， $\odot O$的半径 $\mathit{OA}=6$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot M$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot M$的切线，切点为 $B$， $C$是 $\mathit{BC}$上（除 $B$点外）的任意一点，连接 $\mathit{CM}$交 $\odot M$于点 $G$，过点 $C$作 $C\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BG}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta BCD}$；

（2）若 $\mathit{MB}=\mathit{BE}=1$，求 $\mathit{CD}$的长度．

已知四边形ABCD中， $\mathit{AB}＝\mathit{AD}，$ $\mathit{AB}\perp \mathit{AD}$，连接AC，过点A作 $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$，且使 $\mathit{AE}＝\mathit{AC}$，连接BE，过A作 $\mathit{AH}\perp \mathit{CD}$于H交BE于F．

（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证： $①△\mathit{ABC}≌△\mathit{ADE}$； $\mathit{②BF}＝\mathit{EF}$；

（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且 $\mathit{BD}＝\mathit{BC}$，延长AD到E，且有 $\angle \mathit{EBD}＝\angle \mathit{CAB}$．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=5$，求圆的直径AD及切线BE的长．

如图，在△ ABC中，点 D是 AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ ABC内，求作∠ ADE，使∠ ADE＝∠ B， DE交 AC于 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DB}}$ ＝2，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $P$ 为 $\mathit{BC}$ 边上的动点（与 $B$ 、 $C$ 不重合）， $\mathit{PD}//\mathit{AB}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{AP}$ ，设 $\mathit{CP}=x$ ， $\mathit{\Delta ADP}$ 的面积为 $S$ ．

（1）用含 $x$ 的代数式表示 $\mathit{AD}$ 的长；

（2）求 $S$ 与 $x$ 的函数表达式，并求当 $S$ 随 $x$ 增大而减小时 $x$ 的取值范围．

如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．

（1）求证：为等腰直角三角形．

（2）若，，求的长．