初中数学相似形综合题解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 是锐角， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的动点，将射线 $\mathit{AE}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{ABC}$ 时，

①求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ；

②连结 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{EF}$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BD}}=\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{菱形}\mathit{ABCD}}}$ 的值；

（2）当 $\angle \mathit{EAF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ 时，延长 $\mathit{BC}$ 交射线 $\mathit{AF}$ 于点 $M$ ，延长 $\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{AE}$ 于点 $N$ ，连结 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{MN}$ ，若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2$ ，则当 $\mathit{CE}$ 为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$ 是等腰三角形．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l:y=\frac{3}{8}x$ 上，过点 $B$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{AO}$ 相交于点 $D$ ．

①若 $\mathit{BA}=\mathit{BO}$ ，求证： $\mathit{CD}=\mathit{CO}$ ．

②若 $\angle \mathit{CBO}=45°$ ，求四边形 $\mathit{ABOC}$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCO}$ 相似？若存在，求 $\mathit{OB}$ 的长；若不存在，请说明理由．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$ ， $O$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 的中点，联结 $\mathit{BO}$ 并延长交边 $\mathit{CD}$ 或边 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ．

（1）当点 $E$ 在 $\mathit{CD}$ 上，

①求证： $\mathit{\Delta DAC}\backsim \mathit{\Delta OBC}$ ；

②若 $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$ ，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$ 的值；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\mathit{OE}=3$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿直线 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $\mathit{BF}$ 并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CD}$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $\mathit{HC}$ ．

（1）求证： $\mathit{AG}=\mathit{GH}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BE}=1$ ，求点 $D$ 到直线 $\mathit{BH}$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$ 的大小是否变化？为什么？

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=m$ ， $\mathit{BC}=n$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $\mathit{CP}$ ，将线段 $\mathit{CP}$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AP}$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 的中点，设直线 $\mathit{AP}$ 与直线 $\mathit{EF}$ 相交所成的较小角为 $\beta$ ，探究 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AP}}$ 的值和 $\beta$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $\alpha =60°$ 时，如图1，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

小红研究了 $\alpha =90°$ 时，如图2，求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数分别为 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　， $\beta =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $\alpha =120°$ 时，如图3，也求出了 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}=$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $\beta =$ 　　（用含 $\alpha$ 的式子表示）．

（2）求出 $\alpha =120°$ 时 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{PA}}$ 的值和 $\beta$ 的度数．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{GH}$ 分别平行于 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_1$ 、 $P_2$ 分别在线段 $\mathit{PF}$ 、 $\mathit{PH}$ 上， $P{P}_1=\mathit{PG}$ ， $P{P}_2=\mathit{PE}$ ，连接 $P_{1}H$ 、 $P_{2}F$ ， $P_{1}H$ 与 $P_{2}F$ 相交于点 $Q$ ．已知 $\mathit{AG}:\mathit{GD}=\mathit{AE}:\mathit{EB}=1:2$ ，设 $\mathit{AG}=a$ ， $\mathit{AE}=b$ ．

（1）四边形 $\mathit{EBHP}$ 的面积 　　四边形 $\mathit{GPFD}$ 的面积（填" $>$ "、" $=$ "或" $<$ " $)$

（2）求证：△ $P_1\mathit{FQ}\backsim$ △ $P_2\mathit{HQ}$ ；

（3）设四边形 $P{P}_{1}Q{P}_2$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{CFQH}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

问题1：如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta DEC}$的面积为 $S\text{'}$．

（1）当 $\mathit{AD}=3$时， $\frac{S\text{'}}{S}=$　　；

（2）设 $\mathit{AD}=m$，请你用含字母 $m$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

问题2：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$．设 $\mathit{AE}=n$，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta EFC}$的面积为 $S\text{'}$．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知 $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，请直接写出所有满足条件的 $\mathit{AC}$的长；

（2）如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{ADC}$．求证： $\mathit{\Delta ABC}$是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，求 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{AC}}$的值．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}⩾\mathit{AC}$， $D$， $E$分别为 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边上的点（不包括端点），且 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$，连接 $\mathit{AE}$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AE}$，垂足为点 $M$，延长 $\mathit{DM}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）如图1，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，连接 $\mathit{DH}$．

①求证：四边形 $\mathit{DHEC}$是平行四边形；

②若 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，若 $m=\frac{3}{5}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AE}}$的值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上（不与点 $B$， $C$重合），连接 $\mathit{AG}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点 $F$，设 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，设 $\angle \mathit{EDF}=\alpha$， $\angle \mathit{EBF}=\beta$．求证： $\tan \alpha =k\tan \beta$．

（3）设线段 $\mathit{AG}$与对角线 $\mathit{BD}$交于点 $H$， $\mathit{\Delta AHD}$和四边形 $\mathit{CDHG}$的面积分别为 $S_1$和 $S_2$，求 $\frac{S_2}{S_1}$的最大值．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$为角平分线， $\angle A=40°$， $\angle B=60°$，求证： $\mathit{CD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线．

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=48°$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数．

（3）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{BC}=\sqrt{2}$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$是以 $\mathit{CD}$为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\mathit{CD}$的长．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．