初中数学相似形综合题解答题

阅读下面材料，完成（1） $-$（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$、 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AB}=\mathit{kBD}$（其中 $\frac{\sqrt{2}}{2}<k<1)\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{BAE}$， $\angle \mathit{EAC}$的平分线与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{BG}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $G$，探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $\angle \mathit{BAE}$与 $\angle \mathit{DAC}$相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $\mathit{BG}$，与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$（如图 $2)$，可以求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值．”

（1）求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$；

（2）探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系（用含 $k$的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值（用含 $k$的代数式表示）．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$，在 $\mathit{BD}$左侧作 $\text{Rt}\Delta \text{BDE}$，使 $\angle \mathit{BDE}=90°$，以 $\mathit{AD}$和 $\mathit{DE}$为邻边作 $▱\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{DF}$．

（1）若 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{DE}$．

①如图1，当 $B$， $D$， $F$三点共线时， $\mathit{CD}$与 $\mathit{DF}$之间的数量关系为　　．

②如图2，当 $B$， $D$， $F$三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{BD}=2\mathit{DE}$， $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AC}}=\frac{4}{5}$，且 $E$， $C$， $F$三点共线，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$的值．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$，在 $\mathit{BD}$左侧作 $\text{Rt}\Delta \text{BDE}$，使 $\angle \mathit{BDE}=90°$，以 $\mathit{AD}$和 $\mathit{DE}$为邻边作 $▱\mathit{ADEF}$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{DF}$．

（1）若 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{DE}$．

①如图1，当 $B$， $D$， $F$三点共线时， $\mathit{CD}$与 $\mathit{DF}$之间的数量关系为　　．

②如图2，当 $B$， $D$， $F$三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{BD}=2\mathit{DE}$， $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AC}}=\frac{4}{5}$，且 $E$， $C$， $F$三点共线，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$的值．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，若 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$， $A{C}^2=\mathit{AB}·\mathit{AD}$，且 $\mathit{AD}=\mathit{AB}+\mathit{AC}$，则我们称这样的四边形 $\mathit{ABCD}$为“黄金四边形”， $\angle \mathit{BAD}$称为“黄金角”．

【概念理解】（1）已知四边形 $\mathit{ABCD}$为“黄金四边形”， $\angle \mathit{BAD}$为“黄金角”， $\mathit{AB}<\mathit{AD}$，若 $\mathit{AD}=1$，则 $\mathit{AC}=$　　．

【问题探究】（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}//\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}=\angle D=36°$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$为“黄金四边形”．

【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形” $\mathit{ABC}{A}_1$中， $\angle \mathit{BA}{A}_1$为“黄金角”， $\mathit{AB}<A{A}_1$，在四边形 $\mathit{ABC}{A}_1$外部依次作△ $A{A}_1{A}_2$，△ $A{A}_2{A}_3$， $\dots$，使四边形 $\mathit{AC}{A}_1{A}_2$， $A{A}_1{A}_2{A}_3$， $\dots$均为“黄金四边形”，且满足 $\angle \mathit{CA}{A}_2$， $\angle A_{n}A{A}_{n+2}(n=1$，2， $3\dots )$均为“黄金角”， $A{A}_n<A{A}_{n+1}(n=1$，2， $3\dots )$

①若 $\mathit{AC}=1$，则第 $n$个“黄金四边形”中， $A{A}_n=$　　（用含 $n$的式子表示）．

②若“黄金角” $\angle \mathit{BA}{A}_1=80°$，则当 $A$， $B$， $A_n$三点第一次在同一条直线上时， $n=$　　．

如图 1 所示， 在四边形 $\mathit{ABCD}$中， 点 $O$， $E$， $F$， $G$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$的中点， 连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GO}$， $\mathit{GE}$．

（1） 证明： 四边形 $\mathit{OEFG}$是平行四边形；

（2） 将 $\mathit{\Delta OGE}$绕点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta OMN}$，如图 2 所示， 连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$．

①若 $\mathit{OE}=\sqrt{3}$， $\mathit{OG}=1$，求 $\frac{\mathit{EN}}{\mathit{GM}}$的值；

②试在四边形 $\mathit{ABCD}$中添加一个条件， 使 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$的长在旋转过程中始终相等 ． （不 要求证明）

如图1所示，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$是 $\mathit{AC}$上一点，过点 $O$的直线与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的延长线分别相交于点 $M$， $N$．

【问题引入】

（1）若点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点， $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{BM}}=\frac{1}{3}$，求 $\frac{\mathit{CN}}{\mathit{BN}}$的值；

温馨提示：过点 $A$作 $\mathit{MN}$的平行线交 $\mathit{BN}$的延长线于点 $G$．

【探索研究】

（2）若点 $O$是 $\mathit{AC}$上任意一点（不与 $A$， $C$重合），求证： $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MB}}·\frac{\mathit{BN}}{\mathit{NC}}·\frac{\mathit{CO}}{\mathit{OA}}=1$；

【拓展应用】

（3）如图2所示，点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，射线 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$， $F$，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{BF}}=\frac{1}{3}$， $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{CD}}=\frac{1}{2}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{CE}}$的值．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$的一条边 $\mathit{AD}=8$，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得顶点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上的 $P$点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $O$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$、 $\mathit{OA}$．若 $\mathit{\Delta OCP}$与 $\mathit{\Delta PDA}$的面积比为 $1:4$，求边 $\mathit{CD}$的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $\mathit{AO}$、线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{BP}$．动点 $M$在线段 $\mathit{AP}$上（点 $M$与点 $P$、 $A$不重合），动点 $N$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BN}=\mathit{PM}$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{PB}$于点 $F$，作 $\mathit{ME}\perp \mathit{BP}$于点 $E$．试问当动点 $M$、 $N$在移动的过程中，线段 $\mathit{EF}$的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $\mathit{EF}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$是 $\mathit{AB}$延长线上的点， $\mathit{AC}$的垂直平分线交半圆于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$．已知半圆 $O$的半径为3， $\mathit{BC}=2$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长．

（2）点 $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，连接 $\mathit{DP}$，作 $\angle \mathit{DPF}=\angle \mathit{DAC}$， $\mathit{PF}$交线段 $\mathit{CD}$于点 $F$．当 $\mathit{\Delta DPF}$为等腰三角形时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点（点 $E$与点 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CE}$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CE}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）如图2，当点 $E$运动到 $\mathit{AB}$中点时，连接 $\mathit{DG}$，求证： $\mathit{DC}=\mathit{DG}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $C$作 $\mathit{CM}\perp \mathit{DG}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BF}$于点 $M$， $N$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{NH}}$的值．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $P$为正方形内一动点，若点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，延长 $\mathit{BP}$交 $\mathit{AD}$于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）如图一，若点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，求证： $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$； $\mathit{AM}=\mathit{AN}$；

（2）①如图二，在点 $P$运动过程中，满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$的点 $M$在 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$和 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点 $P$，使得 $\mathit{PC}=\frac{1}{2}$？请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta BEC}$均为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{BEC}=90°$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$延长线上一点，连接 $\mathit{CP}$以 $\mathit{CP}$为直角边向下作等腰直角 $\mathit{\Delta CPD}$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $F$

（1）求证： $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$有什么位置关系？并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

如图，在△ ABC中， AD⊥ BC， BE⊥ AC，垂足分别为 D， E， AD与 BE相交于点 F．

（1）求证：△ ACD∽△ BFD；

（2）当tan∠ ABD＝1， AC＝3时，求 BF的长．

在△ABC中， $\mathit{AB}＝6，$ $\mathit{AC}＝8，$ $\mathit{BC}＝10$，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．

①如图1，连接GH、AD，当 $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当AGDH的面积最大时，过A作 $\mathit{AP}\perp \mathit{EF}$于P，且 $\mathit{AP}＝\mathit{AD}$，求k的值．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝5， E是 AD上的一个动点．

（1）如图1，连接 BD， O是对角线 BD的中点，连接 OE．当 OE＝ DE时，求 AE的长；

（2）如图2，连接 BE， EC，过点 E作 EF⊥ EC交 AB于点 F，连接 CF，与 BE交于点 G．当 BE平分∠ ABC时，求 BG的长；

（3）如图3，连接 EC，点 H在 CD上，将矩形 ABCD沿直线 EH折叠，折叠后点 D落在 EC上的点 D'处，过点 D′作 D′ N⊥ AD于点 N，与 EH交于点 M，且 AE＝1．

①求 $\frac{S_{△E{D}^{\text{'}}M}}{S_{△\mathit{EMN}}}$ 的值；

②连接 BE，△ D' MH与△ CBE是否相似？请说明理由．

如图，正方形 ABCD的边长为3 cm， P， Q分别从 B， A出发沿 BC， AD方向运动， P点的运动速度是1 cm/秒， Q点的运动速度是2 cm/秒，连接 A， P并过 Q作 QE⊥ AP垂足为 E．

（1）求证：△ ABP∽△ QEA；

（2）当运动时间 t为何值时，△ ABP≌△ QEA；

（3）设△ QEA的面积为 y，用运动时刻 t表示△ QEA的面积 y（不要求考 t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）