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初中数学

如图,在直角梯形 ABCD 中, AB / / DC DAB = 90 ° AB = 8 CD = 5 BC = 3 5

(1)求梯形 ABCD 的面积;

(2)联结 BD ,求 DBC 的正切值.

[小题1]求梯形 ABCD 的面积;

[小题2]联结 BD ,求 DBC 的正切值.

来源:2020年上海市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

问题提出

(1)如图1,在 Rt Δ ABC 中, ACB = 90 ° AC > BC ACB 的平分线交 AB 于点 D .过点 D 分别作 DE AC DF BC .垂足分别为 E F ,则图1中与线段 CE 相等的线段是        

问题探究

(2)如图2, AB 是半圆 O 的直径, AB = 8 P AB ̂ 上一点,且 PB ̂ = 2 PA ̂ ,连接 AP BP APB 的平分线交 AB 于点 C ,过点 C 分别作 CE AP CF BP ,垂足分别为 E F ,求线段 CF 的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知 O 的直径 AB = 70 m ,点 C O 上,且 CA = CB P AB 上一点,连接 CP 并延长,交 O 于点 D .连接 AD BD .过点 P 分别作 PE AD PF BD ,垂足分别为 E F .按设计要求,四边形 PEDF 内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设 AP 的长为 x ( m ) ,阴影部分的面积为 y ( m 2 )

①求 y x 之间的函数关系式;

②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当 AP 的长度为 30 m 时,整体布局比较合理.试求当 AP = 30 m 时.室内活动区(四边形 PEDF ) 的面积.

来源:2020年陕西省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图(1)放置两个全等的含有 30 ° 角的直角三角板 ABC DEF ( B = E = 30 ° ) ,若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点 C 与点 E 重合时移动终止),移动过程中始终保持点 B F C E 在同一条直线上,如图(2), AB DF DE 分别交于点 P M AC DE 交于点 Q ,其中 AC = DF = 3 ,设三角板 ABC 移动时间为 x 秒.

(1)在移动过程中,试用含 x 的代数式表示 ΔAMQ 的面积;

(2)计算 x 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?

来源:2020年宁夏中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知:如图,在平面直角坐标系中,点 P ( 3 m m ) ( m > 0 ) ,过点 P 的直线 AB x 轴正半轴交于点 A ,与直线 y = 3 x 交于点 B

(1)当 m = 3 OAB = 90 ° 时,求 BP 的长度;

(2)若点 A 的坐标是 ( 6 , 0 ) ,且 AP = 2 PB ,求经过点 P 且以点 B 为顶点的抛物线的函数表达式.

来源:2018年江苏省无锡市中考数学试卷(副卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

【定义】如图1, A B 为直线 l 同侧的两点,过点 A 作直线 l 的对称点 A ' ,连接 A ' B 交直线 l 于点 P ,连接 AP ,则称点 P 为点 A B 关于直线 l 的“等角点”.

【运用】如图2,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A ( 2 , 3 ) B ( 2 , 3 ) 两点.

(1) C ( 4 , 3 2 ) D ( 4 , 2 2 ) E ( 4 , 1 2 ) 三点中,点  C  是点 A B 关于直线 x = 4 的等角点;

(2)若直线 l 垂直于 x 轴,点 P ( m , n ) 是点 A B 关于直线 l 的等角点,其中 m > 2 APB = α ,求证: tan α 2 = n 2

(3)若点 P 是点 A B 关于直线 y = ax + b ( a 0 ) 的等角点,且点 P 位于直线 AB 的右下方,当 APB = 60 ° 时,求 b 的取值范围(直接写出结果).

来源:2018年江苏省南通市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

结果如此巧合 !

下面是小颖对一道题目的解答.

题目:如图, Rt Δ ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D AD = 3 BD = 4 ,求 ΔABC 的面积.

解:设 ΔABC 的内切圆分别与 AC BC 相切于点 E F CE 的长为 x

根据切线长定理,得 AE = AD = 3 BF = BD = 4 CF = CE = x

根据勾股定理,得 ( x + 3 ) 2 + ( x + 4 ) 2 = ( 3 + 4 ) 2

整理,得 x 2 + 7 x = 12

所以 S ΔABC = 1 2 AC · BC

= 1 2 ( x + 3 ) ( x + 4 )

= 1 2 ( x 2 + 7 x + 12 )

= 1 2 × ( 12 + 12 )

= 12

小颖发现12恰好就是 3 × 4 ,即 ΔABC 的面积等于 AD BD 的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知: ΔABC 的内切圆与 AB 相切于点 D AD = m BD = n

可以一般化吗?

(1)若 C = 90 ° ,求证: ΔABC 的面积等于 mn

倒过来思考呢?

(2)若 AC · BC = 2 mn ,求证 C = 90 °

改变一下条件

(3)若 C = 60 ° ,用 m n 表示 ΔABC 的面积.

来源:2018年江苏省南京市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y = 2 3 x + 4 的图象与 x 轴和 y 轴分别相交于 A B 两点.动点 P 从点 A 出发,在线段 AO 上以每秒3个单位长度的速度向点 O 作匀速运动,到达点 O 停止运动,点 A 关于点 P 的对称点为点 Q ,以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN .设运动时间为 t 秒.

(1)当 t = 1 3 秒时,点 Q 的坐标是  

(2)在运动过程中,设正方形 PQMN ΔAOB 重叠部分的面积为 S ,求 S t 的函数表达式;

(3)若正方形 PQMN 对角线的交点为 T ,请直接写出在运动过程中 OT + PT 的最小值.

来源:2018年江苏省淮安市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知 P 为锐角 MAN 内部一点,过点 P PB AM 于点 B PC AN 于点 C ,以 PB 为直径作 O ,交直线 CP 于点 D ,连接 AP BD AP O 于点 E

(1)求证: BPD = BAC

(2)连接 EB ED ,当 tan MAN = 2 AB = 2 5 时,在点 P 的整个运动过程中.

①若 BDE = 45 ° ,求 PD 的长.

②若 ΔBED 为等腰三角形,求所有满足条件的 BD 的长.

(3)连接 OC EC OC AP 于点 F ,当 tan MAN = 1 OC / / BE 时,记 ΔOFP 的面积为 S 1 ΔCFE 的面积为 S 2 ,请写出 S 1 S 2 的值.

来源:2018年浙江省温州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,直线 l : y = 3 4 x + b x 轴交于点 A ( 4 , 0 ) ,与 y 轴交于点 B ,点 C 是线段 OA 上一动点 ( 0 < AC < 16 5 ) .以点 A 为圆心, AC 长为半径作 A x 轴于另一点 D ,交线段 AB 于点 E ,连接 OE 并延长交 A 于点 F

(1)求直线 l 的函数表达式和 tan BAO 的值;

(2)如图2,连接 CE ,当 CE = EF 时,

①求证: ΔOCE ΔOEA

②求点 E 的坐标;

(3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE EF 的最大值.

来源:2018年浙江省宁波市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

Rt Δ ABC 中, ACB = 90 ° AC = 12 .点 D 在直线 CB 上,以 CA CD 为边作矩形 ACDE ,直线 AB 与直线 CE DE 的交点分别为 F G

(1)如图,点 D 在线段 CB 上,四边形 ACDE 是正方形.

①若点 G DE 的中点,求 FG 的长.

②若 DG = GF ,求 BC 的长.

(2)已知 BC = 9 ,是否存在点 D ,使得 ΔDFG 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.

来源:2018年浙江省金华市(丽水市)中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ΔABC ABC = 90 ° ,顶点 A 在第一象限, B C x 轴的正半轴上 ( C B 的右侧), BC = 2 AB = 2 3 ΔADC ΔABC 关于 AC 所在的直线对称.

(1)当 OB = 2 时,求点 D 的坐标;

(2)若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上,求 OB 的长;

(3)如图2,将(2)中的四边形 ABCD 向右平移,记平移后的四边形为 A 1 B 1 C 1 D 1 ,过点 D 1 的反比例函数 y = k x ( k 0 ) 的图象与 BA 的延长线交于点 P .问:在平移过程中,是否存在这样的 k ,使得以点 P A 1 D 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的 k 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2018年浙江省湖州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知线段 AB = 2 MN AB 于点 M ,且 AM = BM P 是射线 MN 上一动点, E D 分别是 PA PB 的中点,过点 A M D 的圆与 BP 的另一交点 C (点 C 在线段 BD 上),连接 AC DE

(1)当 APB = 28 ° 时,求 B CM ̂ 的度数;

(2)求证: AC = AB

(3)在点 P 的运动过程中

①当 MP = 4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q ,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的 MQ 的值;

②记 AP 与圆的另一个交点为 F ,将点 F 绕点 D 旋转 90 ° 得到点 G ,当点 G 恰好落在 MN 上时,连接 AG CG DG EG ,直接写出 ΔACG ΔDEG 的面积之比.

来源:2017年浙江省温州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在射线 BA BC AD CD 围成的菱形 ABCD 中, ABC = 60 ° AB = 6 3 O 是射线 BD 上一点, O BA BC 都相切,与 BO 的延长线交于点 M .过 M EF BD 交线段 BA (或射线 AD ) 于点 E ,交线段 BC (或射线 CD ) 于点 F .以 EF 为边作矩形 EFGH ,点 G H 分别在围成菱形的另外两条射线上.

(1)求证: BO = 2 OM

(2)设 EF > HE ,当矩形 EFGH 的面积为 24 3 时,求 O 的半径.

(3)当 HE HG O 相切时,求出所有满足条件的 BO 的长.

来源:2016年浙江省温州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 5 , 0 ) ,菱形 OABC 的顶点 B C 都在第一象限, tan AOC = 4 3 ,将菱形绕点 A 按顺时针方向旋转角 α ( 0 ° < α < AOC ) 得到菱形 FADE (点 O 的对应点为点 F ) EF OC 交于点 G ,连接 AG

(1)求点 B 的坐标.

(2)当 OG = 4 时,求 AG 的长.

(3)求证: GA 平分 OGE

(4)连接 BD 并延长交 x 轴于点 P ,当点 P 的坐标为 ( 12 , 0 ) 时,求点 G 的坐标.

来源:2016年浙江省宁波市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中,点 O 为原点,点 A 的坐标为 ( 6 , 0 ) .如图1,正方形 OBCD 的顶点 B x 轴的负半轴上,点 C 在第二象限.现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角 α 得到正方形 OEFG

(1)如图2,若 α = 60 ° OE = OA ,求直线 EF 的函数表达式.

(2)若 α 为锐角, tan α = 1 2 ,当 AE 取得最小值时,求正方形 OEFG 的面积.

(3)当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上时,直线 AE 与直线 FG 相交于点 P ΔOEP 的其中两边之比能否为 2 : 1 ?若能,求点 P 的坐标;若不能,试说明理由

来源:2016年浙江省金华市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学解直角三角形解答题