初中数学解直角三角形试题

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$．且 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{4}{3}\mathit{DC}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$的值．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$是圆 $O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，与 $\mathit{AC}$平行的圆 $O$的一条切线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $M$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，切点为 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CN}$；

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\cos \angle \mathit{DFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AN}=2\sqrt{10}$，求圆 $O$的直径的长度．

将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\mathit{\Delta DEF}$绕点 $D$旋转，腰 $\mathit{DF}$和底边 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{\Delta CAB}$的两腰 $\mathit{CA}$， $\mathit{CB}$于 $M$， $N$两点，若 $\mathit{CA}=5$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=1:3$，则 $\mathit{MD}+\frac{12}{\mathit{MA}·\mathit{DN}}$的最小值为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{BD}$的垂线分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于 $E$， $F$两点．若 $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{AEO}=120°$，则 $\mathit{FC}$的长度为 $($　　 $)$

A．1B．2C． $\sqrt{2}$D． $\sqrt{3}$

如图，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$外接于 $\mathit{\Delta ABC}$，过 $A$点的切线 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $P$， $\angle \mathit{APB}$的平分线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，其中 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}(\mathit{AE}<\mathit{BD})$的长是一元二次方程 $x^2-5x+6=0$的两个实数根．

（1）求证： $\mathit{PA}\cdot \mathit{BD}=\mathit{PB}\cdot \mathit{AE}$；

（2）在线段 $\mathit{BC}$上是否存在一点 $M$，使得四边形 $\mathit{ADME}$是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

如图，要测量小河两岸相对的两点 $P$， $A$的距离，可以在小河边取 $\mathit{PA}$的垂线 $\mathit{PB}$上的一点 $C$，测得 $\mathit{PC}=100$米， $\angle \mathit{PCA}=35°$，则小河宽 $\mathit{PA}$等于 $($　　 $)$

A． $100\sin 35°$米B． $100\sin 55°$米C． $100\tan 35°$米D． $100\tan 55°$米

定义：

我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：

（1）如图1，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 $D$，使四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AC}$为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=80°$， $\angle \mathit{ADC}=140°$，对角线 $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$．

求证： $\mathit{BD}$是四边形 $\mathit{ABCD}$的“相似对角线”；

（3）如图3，已知 $\mathit{FH}$是四边形 $\mathit{EFGH}$的“相似对角线”， $\angle \mathit{EFH}=\angle \mathit{HFG}=30°$，连接 $\mathit{EG}$，若 $\mathit{\Delta EFG}$的面积为 $2\sqrt{3}$，求 $\mathit{FH}$的长．

如图，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$恰为 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{DE}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）如图1，分别过 $A$、 $C$两点作经过点 $B$的直线的垂线，垂足分别为 $M$、 $N$，求证： $\mathit{\Delta ABM}\backsim \mathit{\Delta BCN}$；

（2）如图2， $P$是边 $\mathit{BC}$上一点， $\angle \mathit{BAP}=\angle C$， $\tan \angle \mathit{PAC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求 $\tan C$的值；

（3）如图3， $D$是边 $\mathit{CA}$延长线上一点， $\mathit{AE}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{DEB}=90°$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{3}{5}$， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{2}{5}$，直接写出 $\tan \angle \mathit{CEB}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=60°$， $\mathit{AC}=1$， $D$是边 $\mathit{AB}$的中点， $E$是边 $\mathit{BC}$上一点．若 $\mathit{DE}$平分 $\mathit{\Delta ABC}$的周长，则 $\mathit{DE}$的长是　      　．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

如图，平面直角坐标系中， $\odot P$经过三点 $A(8,0)$， $O(0,0)$， $B(0,6)$，点 $D$是 $\odot P$上的一动点．当点 $D$到弦 $\mathit{OB}$的距离最大时， $\tan \angle \mathit{BOD}$的值是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5