初中数学解直角三角形的应用试题

某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{9}{5\sin \alpha }$ 米

B．

$\frac{9}{5\cos \alpha }$ 米

C．

$\frac{5}{9\sin \alpha }$ 米

D．

$\frac{5}{9\cos \alpha }$ 米

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图1为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

（1）转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度．

（2）将（1）中的连杆再绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$、 $B$两地间的公路进行改建．如图， $A$、 $B$两地之间有一座山，汽车原来从 $A$地到 $B$地需途经 $C$地沿折线 $\mathit{ACB}$行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $\mathit{AB}$行驶．已知 $\mathit{BC}=80$千米， $\angle A=45°$， $\angle B=30°$．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$地到 $B$地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$地到 $B$地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，、、是门轴的滑动轨道，，两门、的门轴、、、都在滑动轨道上，两门关闭时（图，、分别在、处，门缝忽略不计（即、重合）；两门同时开启，、分别沿，的方向匀速滑动，带动、滑动：到达时，恰好到达，此时两门完全开启，已知，．

（1）如图3，当时，　　．

（2）在（1）的基础上，当向方向继续滑动时，四边形的面积为　　．

图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， $\mathit{AC}$是可以伸缩的起重臂，其转动点 $A$离地面 $\mathit{BD}$的高度 $\mathit{AH}$为 $3.4m$．当起重臂 $\mathit{AC}$长度为 $9m$，张角 $\angle \mathit{HAC}$为 $118°$时，求操作平台 $C$离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$

有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，．问：当时，较长支撑杆的端点离地面的高度约为　　．（参考数据：，，，．

图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$绕门轴 $A{A}_1$向里面旋转 $37°$，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$绕门轴 $D{D}_1$向外面旋转 $45°$，其示意图如图2，求此时 $B$与 $C$之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $\mathit{BC}$ 与手臂 $\mathit{MC}$ 始终在同一直线上，枪身 $\mathit{BA}$ 与额头保持垂直．量得胳膊 $\mathit{MN}=28\mathit{cm}$ ， $\mathit{MB}=42\mathit{cm}$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3\mathit{cm}$ （即 $\mathit{MP}$ 的长度），枪身 $\mathit{BA}=8.5\mathit{cm}$ ．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3~5\mathit{cm}$ ．在图2中，若测得 $\angle \mathit{BMN}=68.6°$ ，小红与测温员之间距离为 $50\mathit{cm}$ ．问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

（参考数据： $\sin 66.4°\approx 0.92$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图． $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$是两根相同长度的活动支撑杆，点 $O$是它们的连接点， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $h\left(\mathit{cm}\right)$表示熨烫台的高度．

（1）如图 $2-1$．若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=110\mathit{cm}$， $\angle \mathit{AOC}=120°$，求 $h$的值；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 $120\mathit{cm}$时，两根支撑杆的夹角 $\angle \mathit{AOC}$是 $74°$（如图 $2-2)$．求该熨烫台支撑杆 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到 $1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6)$

如图，有一个三角形的钢架 $\mathit{ABC}$， $\angle A=30°$， $\angle C=45°$， $\mathit{AC}=2(\sqrt{3}+1)m$．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1m$的圆形门？

图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高 $175\mathit{cm}$ 的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 $O$ ，花洒的最高点 $B$ 与人的头顶的铅垂距离为 $15\mathit{cm}$ ，已知龙头手柄 $\mathit{OA}$ 长为 $10\mathit{cm}$ ，花洒直径 $\mathit{AB}$ 是 $8\mathit{cm}$ ，龙头手柄与墙面的较小夹角 $\angle \mathit{COA}=26°$ ， $\angle \mathit{OAB}=146°$ ，则安装时，旋转头的固定点 $O$ 与地面的距离应为多少？（计算结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 26°\approx 0.44$ ， $\cos 26°\approx 0.90$ ， $\tan 26°\approx 0.49)$