初中数学解直角三角形的应用试题

一座楼梯的示意图如图所示， $\mathit{BC}$是铅垂线， $\mathit{CA}$是水平线， $\mathit{BA}$与 $\mathit{CA}$的夹角为 $\theta$．现要在楼梯上铺一条地毯，已知 $\mathit{CA}=4$米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{\sin \theta }$米 ${}^2$B． $\frac{4}{\cos \theta }$米 ${}^2$C． $(4+\frac{4}{\tan \theta })$米 ${}^2$D． $(4+4\tan \theta )$米 ${}^2$

如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面 $A$， $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知在 $A$处测得探测线与地面的夹角为 $30°$，在 $B$处测得探测线与地面的夹角为 $60°$，求该生命迹象 $C$处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的长都为 $2m$，当 $\alpha =50°$时，人字梯顶端离地面的高度 $\mathit{AD}$是　 　 $m$．（结果精确到 $0.1m$，参考依据： $\sin 50°\approx 0.77$， $\cos 50°\approx 0.64$， $\tan 50°\approx 1.19)$

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $\mathit{AC}=40\mathit{cm}$，灯罩 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，灯臂与底座构成的 $\angle \mathit{CAB}=60°$． $\mathit{CD}$可以绕点 $C$上下调节一定的角度．使用发现：当 $\mathit{CD}$与水平线所成的角为 $30°$时，台灯光线最佳．现测得点 $D$到桌面的距离为 $49.6\mathit{cm}$．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$取 $1.73)$．

如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 $A$处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 $30°$角，线段 $A{A}_1$表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离 $\mathit{AC}=18$米时，求此时风筝线 $\mathit{AD}$的长度；

（2）当她从点 $A$跑动 $9\sqrt{2}$米到达点 $B$处时，风筝线与水平线构成 $45°$角，此时风筝到达点 $E$处，风筝的水平移动距离 $\mathit{CF}=10\sqrt{3}$米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 $C_{1}D$．

如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手 $\mathit{AB}$及两根与 $\mathit{FG}$垂直且长为1米的不锈钢架杆 $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$（杆子的底端分别为 $D$、 $C)$，且 $\angle \mathit{DAB}=66.5°$．（参考数据： $\cos 66.5°\approx 0.40$， $\sin 66.5°\approx 0.92)$

（1）求点 $D$与点 $C$的高度差 $\mathit{DH}$；

（2）求所有不锈钢材料的总长度（即 $\mathit{AD}+\mathit{AB}+\mathit{BC}$的长，结果精确到0.1米）

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 $A$，又在河的另一岸边取两点 $B$、 $C$测得 $\angle \alpha =30°$， $\angle \beta =45°$，量得 $\mathit{BC}$长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $\mathit{BC}$ 与手臂 $\mathit{MC}$ 始终在同一直线上，枪身 $\mathit{BA}$ 与额头保持垂直．量得胳膊 $\mathit{MN}=28\mathit{cm}$ ， $\mathit{MB}=42\mathit{cm}$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3\mathit{cm}$ （即 $\mathit{MP}$ 的长度），枪身 $\mathit{BA}=8.5\mathit{cm}$ ．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3~5\mathit{cm}$ ．在图2中，若测得 $\angle \mathit{BMN}=68.6°$ ，小红与测温员之间距离为 $50\mathit{cm}$ ．问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

（参考数据： $\sin 66.4°\approx 0.92$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图． $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$是两根相同长度的活动支撑杆，点 $O$是它们的连接点， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $h\left(\mathit{cm}\right)$表示熨烫台的高度．

（1）如图 $2-1$．若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=110\mathit{cm}$， $\angle \mathit{AOC}=120°$，求 $h$的值；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 $120\mathit{cm}$时，两根支撑杆的夹角 $\angle \mathit{AOC}$是 $74°$（如图 $2-2)$．求该熨烫台支撑杆 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到 $1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6)$

如图，有一个三角形的钢架 $\mathit{ABC}$， $\angle A=30°$， $\angle C=45°$， $\mathit{AC}=2(\sqrt{3}+1)m$．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1m$的圆形门？