初中数学解直角三角形的应用解答题

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．

小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $\mathit{DE}$，箱长 $\mathit{BC}$，拉杆 $\mathit{AB}$的长度都相等，即 $\mathit{DE}=\mathit{BC}=\mathit{AB}$， $B$， $F$在 $\mathit{AC}$上， $C$在 $\mathit{DE}$上，支杆 $\mathit{DF}=30\mathit{cm}$， $\mathit{CE}:\mathit{CD}=1:3$， $\angle \mathit{DCF}=45°$， $\angle \mathit{CDF}=30°$，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求 $\mathit{AC}$的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点 $A$到水平滑杆 $\mathit{ED}$的距离（结果保留根号）．

图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， $\mathit{BC}$和 $\mathit{EF}$均垂直于地面，扇形的圆心角 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEF}=28°$，半径 $\mathit{BA}=\mathit{ED}=60\mathit{cm}$，点 $A$与点 $D$在同一水平线上，且它们之间的距离为 $10\mathit{cm}$．

（1）求闸机通道的宽度，即 $\mathit{BC}$与 $\mathit{EF}$之间的距离（参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$；

（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$、 $B$两地间的公路进行改建．如图， $A$、 $B$两地之间有一座山，汽车原来从 $A$地到 $B$地需途经 $C$地沿折线 $\mathit{ACB}$行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $\mathit{AB}$行驶．已知 $\mathit{BC}=80$千米， $\angle A=45°$， $\angle B=30°$．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$地到 $B$地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$地到 $B$地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$绕门轴 $A{A}_1$向里面旋转 $37°$，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$绕门轴 $D{D}_1$向外面旋转 $45°$，其示意图如图2，求此时 $B$与 $C$之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为 $90m$，楼间距为 $\mathit{AB}$．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 $32.3°$，1号楼在2号楼墙面上的影高为 $\mathit{CA}$；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 $55.7°$，1号楼在2号楼墙面上的影高为 $\mathit{DA}$．已知 $\mathit{CD}=42m$．

（1）求楼间距 $\mathit{AB}$；

（2）若2号楼共30层，层高均为 $3m$，则点 $C$位于第几层？（参考数据： $\sin 32.3°\approx 0.53$， $\cos 32.3°\approx 0.85$， $\tan 32.3°\approx 0.63$， $\sin 55.7°\approx 0.83$， $\cos 55.7°\approx 0.56$， $\tan 55.7°\approx 1.47)$

问题背景：已知 $\angle \mathit{EDF}$的顶点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$所在直线上（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$所在直线于点 $M$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$所在直线于点 $N$，记 $\mathit{\Delta ADM}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BND}$的面积为 $S_2$．

（1）初步尝试：如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{EDF}=\angle A$，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$时，则 $S_1·S_2=$　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$沿 $\mathit{AB}$平移，使 $\mathit{AD}=4$，再将 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转至如图②所示位置，求 $S_1·S_2$的值；

（3）延伸拓展：当 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形时，设 $\angle B=\angle A=\angle \mathit{EDF}=\alpha$．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，求 $S_1·S_2$的表达式（结果用 $a$， $b$和 $\alpha$的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，直接写出 $S_1·S_2$的表达式，不必写出解答过程．

如图，为了测量河对岸两点 $A$ ， $B$ 之间的距离，在河岸这边取点 $C$ ， $D$ ．测得 $\mathit{CD}=80m$ ， $\angle \mathit{ACD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=45°$ ， $\angle \mathit{ADC}=19°17\text{'}$ ， $\angle \mathit{BDC}=56°19\text{'}$ ．设 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一平面内，求 $A$ ， $B$ 两点之间的距离．

（参考数据： $\tan 19°17\text{'}\approx 0.35$ ， $\tan 56°19\text{'}\approx 1.50$ ． $)$

图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道 $\mathit{AB}=120\mathit{cm}$，两扇活页门的宽 $\mathit{OC}=\mathit{OB}=60\mathit{cm}$，点 $B$固定，当点 $C$在 $\mathit{AB}$上左右运动时， $\mathit{OC}$与 $\mathit{OB}$的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）

（1）若 $\angle \mathit{OBC}=50°$，求 $\mathit{AC}$的长；

（2）当点 $C$从点 $A$向右运动 $60\mathit{cm}$时，求点 $O$在此过程中运动的路径长．

参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$． $\cos 50°\approx 0.64$， $\tan 50°\approx 1.19$， $\pi$取3.14．

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

一座吊桥的钢索立柱 $\mathit{AD}$ 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．他们测得 $\angle \mathit{ABD}$ 为 $30°$ ，由于 $B$ 、 $D$ 两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 $\angle \mathit{ACD}$ 恰好为 $45°$ ，点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离约为 $16m$ ．已知 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ．求钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．（结果保留根号）

我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $\mathit{AB}$ 摆成如图1所示．已知 $\mathit{AB}=4.8m$ ，鱼竿尾端 $A$ 离岸边 $0.4m$ ，即 $\mathit{AD}=0.4m$ ．海面与地面 $\mathit{AD}$ 平行且相距 $1.2m$ ，即 $\mathit{DH}=1.2m$ ．

（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $\mathit{BC}$ 与海面 $\mathit{HC}$ 的夹角 $\angle \mathit{BCH}=37°$ ，海面下方的鱼线 $\mathit{CO}$ 与海面 $\mathit{HC}$ 垂直，鱼竿 $\mathit{AB}$ 与地面 $\mathit{AD}$ 的夹角 $\angle \mathit{BAD}=22°$ ．求点 $O$ 到岸边 $\mathit{DH}$ 的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $\angle \mathit{BAD}=53°$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $\mathit{BO}=5.46m$ ，点 $O$ 恰好位于海面．求点 $O$ 到岸边 $\mathit{DH}$ 的距离．

（参考数据： $\sin 37°=\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37°=\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22°\approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22°\approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22°\approx \frac{2}{5})$

图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， $\mathit{AC}$是可以伸缩的起重臂，其转动点 $A$离地面 $\mathit{BD}$的高度 $\mathit{AH}$为 $3.4m$．当起重臂 $\mathit{AC}$长度为 $9m$，张角 $\angle \mathit{HAC}$为 $118°$时，求操作平台 $C$离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$