初中数学计算题

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PC}$的垂线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，以 $\mathit{PE}$为边作正方形 $\mathit{PEFG}$，顶点 $G$在线段 $\mathit{PC}$上，对角线 $\mathit{EG}$、 $\mathit{PF}$相交于点 $O$．

（1）若 $\mathit{AP}=1$，则 $\mathit{AE}=$　     　；

（2）①求证：点 $O$一定在 $\mathit{\Delta APE}$的外接圆上；

②当点 $P$从点 $A$运动到点 $B$时，点 $O$也随之运动，求点 $O$经过的路径长；

（3）在点 $P$从点 $A$到点 $B$的运动过程中， $\mathit{\Delta APE}$的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $\mathit{AB}$边的距离的最大值．

（本小题满分12分）
（1）  
（2）

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

计算：

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

（11·漳州）（满分8分）｜－3｜＋(－1)⁰－

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OADB}$的顶点 $A$， $B$的坐标分别为 $A(-6,0)$， $B(0,4)$．过点 $C(-6,1)$的双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与矩形 $\mathit{OADB}$的边 $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）填空： $\mathit{OA}=$　       　， $k=$　      　，点 $E$的坐标为　       　；

（2）当 $1⩽t⩽6$时，经过点 $M(t-1,-\frac{1}{2}{t}^2+5t-\frac{3}{2})$与点 $N(-t-3,-\frac{1}{2}{t}^2+3t-\frac{7}{2})$的直线交 $y$轴于点 $F$，点 $P$是过 $M$， $N$两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点．

①当点 $P$在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上时，求证：直线 $\mathit{MN}$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$没有公共点；

②当抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与矩形 $\mathit{OADB}$有且只有三个公共点，求 $t$的值；

③当点 $F$和点 $P$随着 $t$的变化同时向上运动时，求 $t$的取值范围，并求在运动过程中直线 $\mathit{MN}$在四边形 $\mathit{OAEB}$中扫过的面积．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　       ，　     　，　      　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

如图，平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A$、 $B$分别在 $y$轴、 $x$轴的正半轴上． $\mathit{\Delta AOB}$的两条外角平分线交于点 $P$， $P$在反比例函数 $y=\frac{9}{x}$的图象上． $\mathit{PA}$的延长线交 $x$轴于点 $C$， $\mathit{PB}$的延长线交 $y$轴于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求 $\angle P$的度数及点 $P$的坐标；

（2）求 $\mathit{\Delta OCD}$的面积；

（3） $\mathit{\Delta AOB}$的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．

100﹣98+96﹣94+92﹣90+…+76﹣74+72=