初中数学解答题

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上的两点，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值为 　　；

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=7$ ， $\mathit{CD}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 上的一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BD}$ ，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{BD}$ ，则 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=\angle B=90°$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{DE}$ 的垂线交 $\mathit{ED}$ 的延长线于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{AB}=\mathit{CF}\cdot \mathit{AD}$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{AD}=9$ ， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$ ，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $\mathit{\Delta CBD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ．

①求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值；

②连接 $\mathit{BF}$ ，若 $\mathit{AE}=1$ ，写出 $\mathit{BF}$ 的长度．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=3$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ，其中点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．

（1）如图1，当点 $A\text{'}$ 落在 $\mathit{AC}$ 的延长线上时，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（2）如图2，当点 $C\text{'}$ 落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上时，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，交 $A\text{'}B$ 于点 $M$ ，求 $\mathit{BM}$ 的长；

（3）如图3，连接 $\mathit{AA}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，直线 $\mathit{CC}\text{'}$ 交 $\mathit{AA}\text{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{DE}$ ．在旋转过程中， $\mathit{DE}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{DE}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ ，试猜想 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BF}$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿着 $\mathit{BF}(F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C\text{'}$ ，连接 $\mathit{DC}\text{'}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ，请判断 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{BG}$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，使 $A\text{'}B\perp \mathit{CD}$ 于点 $H$ ，折痕交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $A\text{'}M$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为20，边长 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\mathit{BHNM})$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEGF}$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{DE}$ ， $M$ 是 $\mathit{BF}$ 的中点，连接 $\mathit{AM}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的数量关系是 　　，位置关系是 　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $\mathit{AEGF}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ ，点 $G$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

公路上正在行驶的甲车，发现前方 $20m$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $s$ （单位： $m)$ 、速度 $v$ （单位： $m/s)$ 与时间 $t$ （单位： $s)$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

（1）当甲车减速至 $9m/s$ 时，它行驶的路程是多少？

（2）若乙车以 $10m/s$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆， $\mathit{AE}$ 是直径，交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\mathit{AH}=\mathit{CG}=3$ ，求 $\mathit{EF}$ 和 $\mathit{CD}$ 的长．

研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体 $\mathit{ABCD}-A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ （图 $1)$ ，因为在平面 $\mathit{AA}\text{'}C\text{'}C$ 中， $\mathit{CC}\text{'}//A{A}^{\text{'}}$ ， $\mathit{AA}\text{'}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $A$ ，所以直线 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{AA}\text{'}$ 所成的 $\angle \mathit{BAA}\text{'}$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{CC}\text{'}$ 所成的角．

解决问题

如图1，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A\text{'}B\text{'}C\text{'}{D}^{\text{'}}$ ，求既不相交也不平行的两直线 $\mathit{BA}\text{'}$ 与 $\mathit{AC}$ 所成角的大小．

（2）如图2， $M$ ， $N$ 是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　　；

②在所选正确展开图中，若点 $M$ 到 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 的距离分别是2和5，点 $N$ 到 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{BC}$ 的距离分别是4和3， $P$ 是 $\mathit{AB}$ 上一动点，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$ 的最小值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，将矩形 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $\mathit{EH}$ 与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $P$ 时，求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $\mathit{CB}$ 的延长线上时， $\mathit{GH}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $\mathit{EF}$ 的垂直平分线上；

（3）当 $\mathit{AB}=5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $\mathit{AD}$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．