初中数学解答题

口袋中有 $4$个相同的小球，它们分别写有数字 $2,3,4,5$，从口袋中随机取出两个球，用所得的两个数 $a$和 $b$构成函数 $y=\mathit{ax}-2$和 $y=x+b$，求使这两个函数的交点在直线 $x=2$右侧的概率.

假设有一个正八面体的骰子，八个面上分别写上了 $1,2,3,4,5,6,7,8$这 $8$个数字，每一次投掷这个骰子，出现这 $8$个数字的机会都是一样的.若将骰子掷三次，依次记录朝上的面上三次出现的数字，设出现的数字中最大的一个用 $m$表示，最小的一个用 $n$表示.

（1）令 $t=m-n$，求 $t$的取值范围;

（2）求 $t=3$的概率.

在一个不透明的布袋里装有 $4$个标有 $1,2,3,4$的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 $x$，小红在剩下的 $3$个小球中随机取出一个小球，记下数字为 $y$，这样确定了点 $Q$的坐标 $\left(x,y\right)$.

（1）画树状图或列表，写出点 $Q$所有可能的坐标;

（2）求点 $Q\left(x,y\right)$在函数 $y=-x+5$的图象上的概率;

（3）小明和小红约定做一个游戏，其规则为:若 $x,y$满足 $\mathit{xy}>6$则小明胜;若 $x,y$满足 $\mathit{xy}<6$则小红胜，这个游戏公平吗?说明理由;若不公平，请写出公平的游戏规则.

甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次.

（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少?

（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中?请说明理由.

一个家庭有 $3$个孩子.

（1）求这个家庭有 $2$个男孩和 $1$个女孩的概率;

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.

2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科;第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科;第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.

（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是＿＿＿＿＿.

（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率.

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2,\mathit{AD}=5$.点 $E$是 $\mathit{AD}$边上一动点，连接 $\mathit{BE},\mathit{CE}$，以 $\mathit{BE}$为直径作 $\odot O$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，过点 $F$作于 $\mathit{FH}\perp \mathit{CE}$于点 $H$.

（1）当直线 $\mathit{FH}$与 $\odot O$相切时，求 $\mathit{AE}$的长;

（2）当 $\mathit{FH}//\mathit{BE}$时，求 $\mathit{AE}$的长;

（3）若线段 $\mathit{FH}$交 $\odot O$于点 $G$，在点 $E$运动过程中， $△\mathit{OFG}$能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时 $\mathit{AE}$的长，如果不能，说明理由.

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD},\mathit{AB}=12\text{cm},\mathit{AD}=10\text{cm},\odot O$与 $\mathit{AD},\mathit{AB},\mathit{BC}$三边都相切，与 $\mathit{DC}$交于点 $E,F$.已知点 $P,Q,R$分别从 $D,A,B$三点同时出发，沿矩形 $\mathit{ABCD}$的边逆时针方向匀速运动，点 $P,Q,R$的运动速度分别是 $1\text{cm}/\text{s},x\text{cm}/\text{s},1.5\text{cm}/\text{s}$，当点 $Q$到达点 $B$时停止运动， $P,R$两点同时停止运动.设运动时间为 $t$（单位: $\text{s}$）.

（1）求证: $\mathit{DE}=\mathit{CF}$;

（2）设 $x=3$，当 $△\mathit{PAQ}$与 $△\mathit{QBR}$相似时，求出 $t$的值;

（3）设 $△\mathit{PAQ}$关于直线 $\mathit{PQ}$对称的图形是 $△P{A}^{\text{'}}Q$，当 $t$和 $x$分别为何值时，点 $A^{\text{'}}$与圆心 $O$恰好重合，求出符合条件的 $t,x$的值.

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $B\left(1,0\right),C\left(4,0\right)$两点，与 $y$轴的正半轴相交于 $A$点，过 $A,B,C$三点的 $\odot P$与 $y$轴相切于点 $A$.

（1）请求出点 $A$坐标和 $\odot P$的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$为 $y$轴负半轴上的一个动点，直线 $\mathit{MB}$交 $\odot P$于点 $D$.若 $△\mathit{AOB}$与以 $A,B,D$为顶点的三角形相似，求 $\mathit{MB}\cdot \mathit{MD}$的值（先画出符合题意的示意图再求解）.

如图，锐角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是 $a,b,c$，已知二次函数 $y=x^2\text{cos}A-x+\frac{1}{\text{cos}A}$的图象顶点与点 $\left(-2\text{cos}A,3\text{cos}A\right)$关于 $y$轴对称.延长 $\mathit{AB}$至 $P$点，使 $\mathit{AP}=2\mathit{AC}$，且以 $C$为圆心， $\mathit{AC}$为半径的圆与以 $B$为圆心 $\mathit{BP}$为半径的圆相外切.

（1）求 $\angle A$的度数;

（2）设 $\mathit{BP}=r$，求 $a:b:c$的值;

（3）若关于 $t$的方程 $3t^2-3\mathit{ct}+\left(a+b\right)=0$的两个根 $\alpha ,\beta$满足 $\alpha \left(\alpha +1\right)+\beta \left(\beta +1\right)=\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，已知直线 $l:y=\mathit{kx}+2(k<0)$，与 $y$轴交于点 $A$，与 $x$轴交于点 $B$，以 $\mathit{OA}$为直径的 $\odot P$交 $l$于另一点 $D$，把弧 $\mathit{AD}$沿直线 $l$翻转后与 $\mathit{OA}$交于点 $E$.

（1）当 $k=-2$时，求 $\mathit{OE}$的长;

（2）是否存在实数 $k(k<0)$，使沿直线 $l$把弧 $\mathit{AD}$翻转后所得的弧与 $\mathit{OA}$相切?若存在，请求出此时 $k$的值;若不存在，请说明理由.

如图所示，在平面直角坐标系中， $\odot O_1$与 $x$轴交于 $A\left(2,0\right),B\left(t+2,0\right)$（且 $t>0)$两点，与 $y$轴相切于点 $C,\mathit{AB}=\mathit{AC}$.

（1）求点 $C,O_1$的坐标和 $t$的值;

（2）求过点 $A,B,C$的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$，判断点 $D$与 $\odot O_1$的位置关系，并求出 $△\mathit{ABD}$的外接圆半径.

如图①， $P$为第一象限内一点，过 $P,O$两点的 $\odot M$交 $x$轴正半轴于点 $A$，交 $y$轴正半轴于点 $B,\angle \mathit{OPA}={45}^{\circ }$.

（1）求证: $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APB}$;

（2）作 $\mathit{OH}\perp PA$交弦 $\mathit{PA}$于点 $H$.

①若 $\mathit{AH}=2,\mathit{OH}+\mathit{PB}=8$，求 $\mathit{BP}$的长;

②若 $\mathit{BP}=m,\mathit{OH}=n$，把 $△\mathit{POB}$沿 $y$轴翻折，得到 $△P^{\text{'}}\mathit{OB}$（如图②），求 $A{P}^{\text{'}}$的长.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过点 $B$作 $\odot O$的切线 $\mathit{BM}$，点 $P$在右半圆上移动（点 $P$与点 $A,B$不重合），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $C$.点 $Q$在射线 $\mathit{BM}$上移动（点 $M$在点 $B$的右边），且在移动过程中保持 $\mathit{OQ}//\mathit{AP}$.

（1）若 $\mathit{PC},\mathit{QO}$的延长线相交于点 $E$，判断是否存在点 $P$，使得点 $E$恰好在 $\odot O$上?若存在，求出 $\angle \mathit{APC}$的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $\mathit{AQ}$交 $\mathit{PC}$于点 $F$，设 $k=\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PC}}$，试问: $k$的值是否随点 $P$的移动而变化?证明你的结论.

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径，弦 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，过点 $B$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $E,\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$.求证: $\mathit{AC}=\mathit{CF}$.