初中数学解答题

如图抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$有公共点 $A,B$,已知点 $A$的坐标为 $\left(1,4\right)$,点 $B$在第三象限内,且 $△\mathit{AOB}$的面积为 $3$（ $O$为坐标原点）.

（1）求实数 $a,b,k$的值;

（2）过抛物线上点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴,交拋物线于另一点 $C$,求所有满足 $△\mathit{EOC}\sim △\mathit{AOB}$的点 $E$的坐标.

如图,已知 $A,B$两点的坐标分别为 $A\left(0,2\sqrt{3}\right),B\left(2,0\right)$.直线 $\mathit{AB}$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于点 $C$和点 $D\left(-1,a\right)$.

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数的解析式;

（2）求 $\angle \mathit{ACO}$的度数;

（3）将 $△\mathit{OBC}$绕点 $O$逆时针方向旋转 $\alpha$角（ $\alpha$为锐角）,得到 $△O{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.当 $\alpha$为多少度时, $O{C}^{\text{'}}\perp \mathit{AB}$.并求此时线段 $A{B}^{\text{'}}$的长.

如图,点 $P$是双曲线 $y=\frac{k_1}{x}\left(k_1<0,x<0\right)$上一动点,过点 $P$作 $x$轴, $y$轴的垂线,分别交 $x$轴, $y$轴于 $A,B$两点,交双曲线 $y=\frac{k_2}{x}\left(0<k_2<\left|k_1\right|\right)$于 $E,F$两点.

（1）图①中,四边形 $PEOF$的面积 $S_1$为多少?（用含 $k_1,k_2$的式子表示.直接写出结论,不需过程）

（2）图②中,设 $P$点坐标为 $\left(-4,3\right)$.

①判断 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AB}$的位置关系,并证明你的结论;

②记 $S_2=S_{△\mathit{PEF}}-S_{△\mathit{OEF}},S_2$是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

如图,一次函数 $y=\mathit{ax}+b\left(a\ne 0\right)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于 $A,B$两点,与 $x$轴交于点 $C$,与 $y$轴交于点 $D$,已知 $\mathit{OA}=2\sqrt{5},\text{tan}\angle \mathit{AOC}=\frac{1}{2}$,点 $B$的坐标是 $\left(m-4\right)$.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式;

（2）若点 $E$在坐标轴上,且使得 $S_{△\mathit{AED}}=3S_{△\mathit{ACE}}$,求点 $E$的坐标.

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k>0)$的图象与 $x$轴, $y$轴分别交于 $A,B$两点,且与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$图象的一个交点为 $P\left(1,m\right)$.

（1）求 $m$的值;

（2）若 $\mathit{PA}=2\mathit{AB}$,求 $k$的值.

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中,点 $A$是反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$图象上的一个动点,连接 $\mathit{AO},\mathit{AO}$的延长线交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $B$,过点 $A$作 $\mathit{AE}\perp y$轴于点 $E$.

（1）如图①,过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp x$轴于点 $F$,连接 $\mathit{EF}$.

①若 $k=1$,求证:四边形 $\mathit{AEFO}$是平行四边形;

②连接 $\mathit{BE}$,若 $k=4$,求 $△\mathit{BOE}$的面积.

（2）如图②,过点 $E$作 $\mathit{EP}//\mathit{AB}$,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x<0)$的图象于点 $P$,连接 $\mathit{OP}$.试探究:对于确定的实数 $k$,动点 $A$在运动过程中, $△\mathit{POE}$的面积是否会发生变化?请说明理由.

如图,直线 $y=\frac{3}{4}x+6$与 $x$轴交于点 $A$,与 $y$轴交于点 $B$.直线 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$,且与 $△\mathit{AOB}$的外接圆 $\odot P$相切,与双曲线 $y=-\frac{30}{x}$在第二象限内的图象交于 $C,D$两点.

（1）求点 $A,B$的坐标和 $\odot P$的半径;

（2）求直线 $\mathit{MN}$所对应的函数解析式;

（3）求 $△\mathit{BCN}$的面积.

已知直线 $y=x$上点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//y$轴交 $x$轴于点 $D$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $B$，过点 $C$作 $\mathit{NC}//x$轴交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于点 $E$，若 $B$是 $\mathit{CD}$的中点，且四边形 $\mathit{OBCE}$的面积为 $\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）若 $A\left(3,3\right),M$是双曲线 $y=\frac{k}{x}$第一象限上的任一点，求证: $\mathrm{}\left|\mathit{MC}\right|-\left|\mathit{MA}\right|$为常数6；

（3）现在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上选一处 $M$建一座码头，向 $A\left(3,3\right),P\left(9,6\right)$两地转运货物，经测算，从 $M$到 $A$，从 $M$到 $P$修建公路的费用都是每单位长度 $a$万元，则码头 $M$应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?（提示：利用（2）的结论转化）

如图，点 $P$为 $x$轴负半轴上的一个点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，交函数 $y=-\frac{1}{x}$的图象于点 $A$，交函数 $y=-\frac{4}{x}$的图象于点 $B$，过点 $B$作 $x$轴的平行线，交 $y=-\frac{1}{x}$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）当点 $P$的坐标为 $\left(-1,0\right)$时，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，求点 $A$的坐标；

（3）连接 $\mathit{OA}$和 $\mathit{OC}$.当点 $P$的坐标为 $\left(t,0\right)$时， $△\mathit{OAC}$的面积是否随 $t$的值的变化而变化?请说明理由.

如图，在矩形 $\mathit{AOBC}$中，已知 $B\left(4,0\right),A\left(0,3\right),F$是边 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B,C$ 重合），过 $F$点的反比例函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与 $\mathit{AC}$边交于点 $E$.

（1）求证: $△\mathit{AOE}$与 $△\mathit{BOF}$的面积相等；

（2）记 $S=S_{△\mathit{OEF}}-S_{△\mathit{ECF}}$，求当 $k$为何值时， $S$有最大值，最大值为多少?

如图，在平面直角坐标系中。已知四边形 $ABCD$为菱形，且 $A\left(0,3\right),B\left(-4.0\right)$.

（1）求过点 $C$的反比例函数解析式；

（2）设直线 $l$与（1）中所求函数图象相切，且与 $x$轴， $y$轴的交点分别为 $M,N.O$为坐标原点.求证: $△\mathit{OMN}$的面积为定值.

如图， $△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{ABO}={90}^{\circ }$，边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过斜边 $\mathit{OA}$的中点 $M$，与 $\mathit{AB}$相交于点N， $S_{△\mathit{AOB}}=12,\mathit{AN}=\frac{9}{2}$.

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{MN}$的解析式.

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=2x$的图象 $l$与函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象（记为 $\text{Γ})$交于点 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp y$轴于点 $B$，且 $\mathit{AB}=1$，点 $C$在线段 $\mathit{OB}$上（不含端点），且 $\mathit{OC}=t$，过点 $C$作直线 $l_1//x$轴，交 $l$于点 $D$，交图象 $\text{Γ}$于点 $E$.

（1）求 $k$的值，并且用含 $t$的式子表示点 $D$的横坐标；

（2）连接 $\mathit{OE},\mathit{BE},\mathit{AE}$，记 $△\mathit{OBE},△\mathit{ADE}$的面积分别为 $S_1,S_2$，设 $U=S_1-S_2$，求 $U$的最大值.

如图，正比例函数 $y=x$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $A\left(1,a\right)$.在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CA}=\mathit{CB}$，点 $C$坐标为 $\left(-2,0\right)$.

（1）求 $k$的值；

（2）求 $\mathit{AB}$所在直线的解析式.

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数 $2,3,4\cdots 2006$，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜;否则，判乙胜.

按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体的数字作答）.