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2020年全国统一高考数学试卷(天津卷)

设全集 U = { - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } ,集合 A = { - 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { - 3 , 0 , 2 , 3 } ,则 A U B =    

A.

{ - 3 , 3 }

B.

C.

{ - 1 , 1 }

D.

{ - 3 , - 2 , - 1 , 1 , 3 }

来源:2020年全国统一高考数学试卷(天津卷)
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a R ,则" a > 1 "是" a 2 > a "的(    

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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函数 y = 4 x x 2 + 1 的图象大致为(    

A.

A

B.

C.

D.

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从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位: mm ),将所得数据分为9组: [ 5 . 31 , 5 . 33 ) , [ 5 . 33 , 5 . 35 ) , , [ 5 . 45 , 5 . 47 ] , [ 5 . 47 , 5 . 49 ] ,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间 [ 5 . 43 , 5 . 47 ) 内的个数为(    

A.

10

B.

18

C.

20

D.

36

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若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(    

A.

12 π

B.

24 π

C.

36 π

D.

144 π

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a = 3 0 . 7 ,  b = 1 3 - 0 . 8 ,  c = log 0 . 7 0 . 8 ,则 a , b , c 的大小关系为(    

A.

a < b < c

B.

b < a < c

C.

b < c < a

D.

c < a < b

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设双曲线 C 的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ) ,过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点和点 ( 0 , b ) 的直线为 l .若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方程为(    

A.

x 2 4 - y 2 4 = 1

B.

x 2 - y 2 4 = 1

C.

D.

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已知函数 f ( x ) = sin x + π 3 .给出下列结论:

f ( x ) 的最小正周期为 2 π

f π 2 f ( x ) 的最大值;

③把函数 y = sin x 的图象上所有点向左平移 π 3 个单位长度,可得到函数 y = f ( x ) 的图象.

其中所有正确结论的序号是

A.

B.

①③

C.

②③

D.

①②③

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已知函数 f ( x ) = x 3 , x 0 , - x , x < 0 . 若函数 g ( x ) = f ( x ) - k x 2 - 2 x ( k R ) 恰有4个零点,则 k 的取值范围是(    

A.

- , - 1 2 ( 2 2 , + )

B.

- , - 1 2 ( 0 , 2 2 )

C.

( - , 0 ) ( 0 , 2 2 )

D.

( - , 0 ) ( 2 2 , + )

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是虚数单位,复数 8 - i 2 + i = _________.

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x + 2 x 2 5 的展开式中, x 2 的系数是_________.

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已知直线 x - 3 y + 8 = 0 和圆 x 2 + y 2 = r 2 ( r > 0 ) 相交于 A , B 两点.若 | AB | = 6 ,则 r 的值为_________.

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已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 1 3 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.

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已知 a > 0 ,  b > 0 ,且 ab = 1 ,则 1 2 a + 1 2 b + 8 a + b 的最小值为_________.

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如图,在四边形 ABCD 中, B = 6 0 ° ,  AB = 3 BC = 6 ,且 AD = λ BC , AD AB = - 3 2 ,则实数 λ 的值为_________,若 M , N 是线段 BC 上的动点,且 | MN | = 1 ,则 DM DN 的最小值为_________.

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ABC 中,角所对的边分别为 a , b , c .已知 a = 2 2 , b = 5 , c = 13

(Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)求 sin A 的值;

(Ⅲ)求 sin 2 A + π 4 的值.

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如图,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, C C 1 平面 ABC , AC BC , AC = BC = 2 C C 1 = 3 ,点 D ,  E 分别在棱 A A 1 和棱 C C 1 上,且 AD = 1  CE = 2 ,  M 为棱 A 1 B 1 的中点.

(Ⅰ)求证: C 1 M B 1 D

(Ⅱ)求二面角 B - B 1 E - D 的正弦值;

(Ⅲ)求直线 AB 与平面 D B 1 E 所成角的正弦值.

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已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , - 3 ) ,右焦点为 F ,且 | OA | = | OF | ,其中 O 为原点.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)已知点 C 满足 3 OC = OF ,点 B 在椭圆上( B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P ,且 P 为线段 AB 的中点.求直线 AB 的方程.

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已知 a n 为等差数列, b n 为等比数列, a 1 = b 1 = 1 , a 5 = 5 a 4 - a 3 , b 5 = 4 b 4 - b 3

(Ⅰ)求 a n b n 的通项公式;

(Ⅱ)记 a n 的前 n 项和为 S n ,求证: S n S n + 2 < S n + 1 2 n N *

(Ⅲ)对任意的正整数 n ,设 c n = 3 a n - 2 b n a n a n + 2 , n 为奇数 , a n - 1 b n + 1 , n 为偶数 . 求数列 c n 的前 2 n 项和.

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已知函数 f ( x ) = x 3 + k ln x ( k R ) f ' ( x ) f ( x ) 的导函数.

(Ⅰ)当 k = 6 时,

(i)求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程;

(ii)求函数 g ( x ) = f ( x ) - f ' ( x ) + 9 x 的单调区间和极值;

(Ⅱ)当 k - 3 时,求证:对任意的 x 1 , x 2 [ 1 , + ) ,且 x 1 > x 2 ,有 f ' x 1 + f ' x 2 2 > f x 1 - f x 2 x 1 - x 2

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