实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片 ABCD ,将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠,使点 B 落在正方形 ABCD 的内部,点 B 的对应点为点 M ,折痕为 AE ,再将纸片沿过点 A 的直线折叠,使 AD 与 AM 重合,折痕为 AF ,则 ∠EAF= 度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿 EF 继续折叠,点 C 的对应点为点 N .我们发现,当点 E 的位置不同时,点 N 的位置也不同.当点 E 在 BC 边的某一位置时,点 N 恰好落在折痕 AE 上,则 ∠AEF= 度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设 AM 与 NF 的交点为点 P .求证: ΔANP≅ΔFNE ;
(2)若 AB=√3 ,则线段 AP 的长为 .
如图,在 ΔABC 中, AD⊥BC ,垂足为 D , BD=CD ,延长 BC 至 E ,使得 CE=CA ,连接 AE .
(1)求证: ∠B=∠ACB ;
(2)若 AB=5 , AD=4 ,求 ΔABE 的周长和面积.
如图,在 RtΔAOB 中, ∠ABO=90° , ∠OAB=30° ,以点 O 为圆心, OB 为半径的圆交 BO 的延长线于点 C ,过点 C 作 OA 的平行线,交 ⊙O 于点 D ,连接 AD .
(1)求证: AD 为 ⊙O 的切线;
(2)若 OB=2 ,求弧 CD 的长.
如图,在正方形 ABCD 外取一点 E ,连接 DE , AE , CE ,过点 D 作 DE 的垂线交 AE 于点 P ,若 DE=DP=1 , PC=√6 .下列结论:① ΔAPD≅ΔCED ;② AE⊥CE ;③点 C 到直线 DE 的距离为 √3 ;④ S正方形ABCD=5+2√2 ,其中正确结论的序号为 .
如图,已知点 A , D , C , B 在同一条直线上, AD=BC , AE=BF , AE//BF .
(1)求证: ΔAEC≅ΔBFD .
(2)判断四边形 DECF 的形状,并证明.
如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O ,点 E , F 是对角线 AC 上的两点,且 AE=CF .连接 DE , DF , BE , BF .
(1)证明: ΔADE≅ΔCBF .
(2)若 AB=4√2 , AE=2 ,求四边形 BEDF 的周长.
如图①, E 、 F 是等腰 RtΔABC 的斜边 BC 上的两动点, ∠EAF=45° , CD⊥BC 且 CD=BE .
(1)求证: ΔABE≅ΔACD ;
(2)求证: EF2=BE2+CF2 ;
(3)如图②,作 AH⊥BC ,垂足为 H ,设 ∠EAH=α , ∠FAH=β ,不妨设 AB=√2 ,请利用(2)的结论证明:当 α+β=45° 时, tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ 成立.
已知:如图,四边形 ABCD 为平行四边形,点 E 、 A 、 C 、 F 在同一直线上, AE=CF .
求证:(1) ΔADE≅ΔCBF ;
(2) ED//BF .
如图1,在 ΔABC 中, AB=AC , N 是 BC 边上的一点, D 为 AN 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 T ,且 AT=BN ,连接 BT .
(1)求证: BN=CN ;
(2)在图1中 AN 上取一点 O ,使 AO=OC ,作 N 关于边 AC 的对称点 M ,连接 MT 、 MO 、 OC 、 OT 、 CM 得图2.
①求证: ΔTOM∽ ;
②设 与 相交于点 ,求证: , .
如图,已知 、 分别是正方形 的边 与 的中点, 与 交于 .则下列结论成立的是
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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如图,在矩形 中, 是边 上一点, , ,垂足为 .将四边形 绕点 顺时针旋转 ,得到四边形 , 所在的直线分别交直线 于点 ,交直线 于点 ,交 于点 . 所在的直线分别交直线 于点 ,交直线 于点 ,连接 交 于点 .
(1)如图1,求证:四边形 是正方形;
(2)如图2,当点 和点 重合时.
①求证: ;
②若 , ,求线段 的长;
(3)如图3,若 交 于点 , ,求 的值.
在 中, , , 是边 上一点,将 沿 折叠得到 ,连接 .
(1)特例发现
如图1,当 , 落在直线 上时.
①求证: ;
②填空: 的值为 ;
(2)类比探究
如图2,当 , 与边 相交时,在 上取一点 ,使 , 交 于点 .探究 的值(用含 的式子表示),并写出探究过程;
(3)拓展运用
在(2)的条件下,当 , 是 的中点时,若 ,求 的长.
问题提出
如图(1),在 和 中, , , ,点 在 内部,直线 与 于点 .线段 , , 之间存在怎样的数量关系?
问题探究
(1)先将问题特殊化如图(2),当点 , 重合时,直接写出一个等式,表示 , , 之间的数量关系;
(2)再探究一般情形如图(1),当点 , 不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.
问题拓展
如图(3),在 和 中, , , 是常数),点 在 内部,直线 与 交于点 .直接写出一个等式,表示线段 , , 之间的数量关系.
试题篮
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