高中数学试题

设 $\mathit{xyz}$ 为正数，且 $2^x=3^y=5^z$ ，则（ ）

A．

$2x<3y<5z$

B．

$5z<2x<3y$

C．

$3y<5z<2x$

D．

$3y<2x<5z$

已知 F为抛物线 $C：y^2=4x$ 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l ₁， l ₂，直线 l ₁与 C交于 A、 B两点，直线 l ₂与 C交于 D、 E两点，则 $\left|\mathit{AB}\right|+\left|\mathit{DE}\right|$ 的最小值为（ ）

A．

16

B．

14

C．

12

D．

10

已知曲线 $C1：y=\mathit{cos\; x}$ ， $C2：y=\mathit{sin}(2x+\frac{2\pi }{3})$ ，则下面结论正确的是（ ）

A．	把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线C 2
B．	把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线C 2
C．	把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线C 2
D．	把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线C 2

下面程序框图是为了求出满足 $3^n-2^n>1000$ 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入(      )

A．	$A>1000$ 和 $n=n+1$
B．	$A>1000$ 和 $n=n+2$
C．	$A\le 1000$ 和 $n=n+1$
D．	$A\le 1000$ 和 $n=n+2$

某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（  ）

A．

10

B．

12

C．

14

D．

16

$(1+\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为（ ）

A．

15

B．

20

C．

30

D．

35

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_4+a_5=24$ ， $S_6=48$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为（ ）

A．

1

B．

2

C．

4

D．

8

设有下面四个命题

$p_1$ ：若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z}\in R$ ，则 $z\in R$ ；

$p_2$ ：若复数 $z$ 满足 $z^2\in R$ ，则 $z\in R$ ；

$p_3$ ：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1{z}_2\in R$ ，则 $z_1=\overline{z_2}$ ；

$p_4$ ：若复数 $z\in R$ ，则 $\bar{z}\in R$ .

其中的真命题为(    )

A．

$p_1,p_3$

B．

$p_1,p_4$

C．

$p_2,p_3$

D．

$p_2,p_4$

如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．	$\frac{1}{4}$	B．	$\frac{\pi }{8}$
C．	$\frac{1}{2}$	D．	$\frac{\pi }{4}$

已知集合 $A=\left\{x\right|x<1\}$ ， $B=\left\{x\right|3^x<1$ }，则（ ）

A．	$A\cap B=\left\{x\right|x<0\}$	B．	$A\cup B=R$
C．	$A\cup B=\left\{x\right|x>1\}$	D．	$A\cap B=\varnothing$

[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

设函数 $f（x）=\mathit{lnx}﹣x+1$．

（1）讨论 $f（x）$的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ $\frac{x-1}{\ln x}$ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x ．

已知抛物线 $C：y^2=2x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $l_1$ ， $l_2$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $\mathit{AR}\parallel \mathit{FQ}$ ；

（2）若 $△\mathit{PQF}$ 的面积是 $△\mathit{ABF}$ 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $PA\mathit{\perp }\mathit{底面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$ ，M为线段AD上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$ ，N为PC的中点．

（1）证明 $\mathit{MN}\parallel \mathrm{平面}PAB$；

（2）求四面体 $N﹣\mathit{BCM}$ 的体积．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{y}\mathrm{i}=9.32$ ， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{i}=40.17$ ， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}$ $=0.55$ ， $\sqrt{7}\approx 2.646$ ．

参考公式： $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}^2}}$ ，回归方程 $\stackrel{\wedge }{y}=\stackrel{\wedge }{a}+\stackrel{\wedge }{b}t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{\wedge }{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)\left(y_i-\stackrel{-}{y}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(t_i-\stackrel{-}{t}\right)}^2}$ ， $\stackrel{\wedge }{a}=\stackrel{-}{y}-\stackrel{\wedge }{b}\stackrel{-}{t}$ ．