高中数学合情推理和演绎推理解答题

用三段论证明：．

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） ${\sin }^2{13}^{°}+{\cos }^2{17}^{°}-\sin {13}^{°}\cos {17}^{°}$

（2） ${\sin }^2{15}^{°}+{\cos }^2{15}^{°}-\sin {15}^{°}\cos {15}^{°}$

（3） ${\sin }^2{18}^{°}+{\cos }^2{12}^{°}-\sin {18}^{°}\cos {12}^{°}$

（4） ${\sin }^2\left(-{18}^{°}\right)+{\cos }^2{48}^{°}-{\sin }^2\left(-{18}^{°}\right){\cos }^2{48}^{°}$

（5） ${\sin }^2\left(-{25}^{°}\right)+{\cos }^{2}55°-{\sin }^2\left(-{25}^{°}\right){\cos }^2{55}^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

设数列的前项和为，且满足．
（1）求，，，的值并写出其通项公式；
（2）用三段论证明数列是等比数列．

已知等式对一切正整数都成立，那么的值为多少？

由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.

（Ⅰ）求出；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，
（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理有。设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是               。

有人要走上一个楼梯，每步可向上走一级台阶或二级台阶，我们用表示该人走到级台阶时所有可能不同走法的种数，试寻求的递推关系。

已知： 
观察上述两式的规律，请你写出对任意角都成立的一般性命题并证明。

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有   ①
  ②
由①+②得  ③
令 有
代入③得 ．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
（Ⅱ）若的三个内角满足,试判断的形状．（提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：．
（Ⅱ）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质．

若实数满足，求证：

（1）证明：当时，不等式成立；
（2）要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

观察数表
1
2   3   4
3   4   5   6   7
4   5   6   7   8   9   10
            
求：（1）这个表的第行里的最后一个数字是多少？
（2）第行各数字之和是多少？

 (本小题13分)
a,b,c均为实数，且，求证：中至少有一个大于0.