高中数学空间向量的应用解答题

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，面，四边形是正方形，是的中点，是的中点

（1）求证：面；  
（2）求证：面.

如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．

如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

（1）求证：；
（2）若平面与平面的交线为，求证：．

（本小题12分） 如图，在边长为12的正方形中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P；作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q. 现将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁.

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC;
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连接AQ与A₁P，求四面体AA₁QP的体积；
（3）在三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，求直线 PQ与直线AC所成角的余弦值.

（本小题13分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，点E、F、G分别是AA₁、
AC、BB₁的中点，且CG⊥C₁G .

（1）求证：CG//面BEF;   
（2）求证：面BEF⊥面A₁C₁G .

（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值.
（Ⅲ）若，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值

（本小题12分）如图，已知直角梯形中，且，又分别为的中点，将△沿折叠，使得.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB， 并说明理由．

（本小题10分）在长方体中，底面 为正方形，分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．

（1）求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；
（2）若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；
（3）若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC.

（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（3）设二面角M－BP－C的大小为θ，求的值．

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论．

如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D是BC的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求的A₁ 到平面的距离.

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E、F分别是PB、CD的中点，且.

（1）求证：；
（2）求证：;
（3）求二面角的余弦值.

如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面 是等边三角形，且平面⊥底面,为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求 点G到平面PAB的距离。

在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面,
平面平面,,且

（1）若,求证:平面
（2）若二面角为60°,求的长.