高中数学空间向量的应用解答题

在四棱锥中， ，，点是线段上的一点，且，．

（1）证明：面面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

（本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥ CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD. E和F分别是CD和PC的中点．

求证：
（1)PA⊥底面ABCD；
（2)BE∥平面PAD；
（3)平面BEF⊥平面PCD.

如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2,又AA₁⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC₁的中点.

(1)求证:AE⊥平面A₁BD.
(2)求二面角D-BA₁-A的余弦值.
(3)求点B₁到平面A₁BD的距离.

（本小题满分12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，
分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）底面为一个矩形，其中，。顶部线段平面，棱， ， 二面角的余弦值为，设是的中点，
 
（1）证明：平面；
（2）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.

（本小题满分13分）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.

（1）求证：面PAC⊥面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

如图，在四棱锥中，,, ，,,是的中点．

（1）证明：;
（2）证明：;
（3）求二面的余弦值．

（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD^平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：AC^平面PBD．

（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,平面平面,∥,已知

（1）设是上的一点,求证:平面平面;
（2）当三角形为正三角形时，点在线段（不含线段端点）上的什么位置时，二面角的大小为

如图，正方形所在平面与平面垂直，是和的交点，且．

（1）求证：⊥平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．

（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点，，， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．

（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1．

（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；   
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．

（本小题满分13分）已知平面平面，四边形是矩形，，、分别是、的中点，主（正）视图方向垂直平面时，左（侧）视图的面积为．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面．