高中数学第二数学归纳法解答题

观察以下个等式：





照以上式子规律：
写出第个等式，并猜想第个等式；
用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．

用数学归纳法证明:

对于数列： ,实常数
（1）求，并猜想 （2）证明你的猜想.

已知，（其中）
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．

已知数列的前n项和为，且，令.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数．

证明：．

设实数 $c>0$，整数 $p>1,n\in N^{+}$.
（1）证明：当 $x>-1$且 $x\ne 0$时， $(1+x{)}^p>1+px$；
（2）数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1>c^{\frac{1}{p}},a_{n+1}=\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a_n}^{1-p}$，证明： $a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$.

若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论．

设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n＋1＝a_n²－2na_n＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式(不需证明)；
(2)记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得S_n<2ⁿ成立的最小正整数n，并给出证明．

用数学归纳法证明4^2n＋1＋3^n＋2能被13整除，其中n∈N^*.

在数列中，，且成等差数列，成等比数列.
(1)求；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

在数列{}中，，且，
（1）求的值；
（2）猜测数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明。

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）求证：存在，使得．

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）当时，求证：存在，使得．

已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．