高中数学第二数学归纳法解答题

由下列各个不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

证明：.

已知数列计算由此推测出的计算公式，并用数学归纳法证明.

已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．

已知，是函数的两个零点，其中常数，，设．
（Ⅰ）用，表示，；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：对任意的．

记的展开式中，的系数为，的系数为,其中
(1)求（2）是否存在常数p,q(p<q),使，对，恒成立？证明你的结论.

是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.

在数列中，已知，，(，)．
（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：
（1）；
（2）．

由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

已知数列中，，且．为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和；
（3）证明对一切，有．

（本小题满分13分）已知数列中，，．
（Ⅰ）若，设，求证数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，，证明：．

设数列{}满足：a₁=2，对一切正整数n，都有
(1)探讨数列{}是否为等比数列，并说明理由；
(2)设

设数列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，(－1)，即当(k∈N^*)时，a_n＝(－1)^k－1k，记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用数学归纳法证明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：
(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；
(2)a_n＜a_n＋1＜1.