高中数学第二数学归纳法填空题

一种平面分形图的形成过程如下图所示，第一层是同一点出发的三条线段，长度均为1，每两条线段夹角为 120°；第二层是在第一层的每一条线段末端，再生成两条与该线段成120°角的线段，长度不变；第三层按第二层的方法再在第二层每一条线段的末端各生成两条线段；重复前面的作法，直至第6层，则分形图第6层各条线段末端之间的距离的最大值      

正偶数列有一个有趣的现象：①；②；
③
按照这样的规律，则2012在第              个等式中。

观察下列等式：，，，， ，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于N^*，___________．

有下列各式：，，，……
则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：                        ．

已知 ，定义，．经计算…，照此规律，则          ．

已知下列四个等式


依此类推，猜想第个等式为                                                    ．

设函数f（x）＝（x＞0），观察：f₁（x）＝f（x）＝, f₂（x）＝f（f₁（x））＝, f₃（x）＝f（f₂（x））＝, f₄（x）＝f（f₃（x））＝……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*, n≥2时，f_n（x）＝f（_n－1（x））＝             ．

【原创】（1）观察下列各式;根据以上各式利用归纳推理得出一个一般性的结论；
（2）设根据的大小关系证明（1）的结论；

设函数f（x）＝（x＞0），观察：f₁（x）＝f（x）＝, f₂（x）＝f（f₁（x））＝, f₃（x）＝f（f₂（x））＝, f₄（x）＝f（f₃（x））＝……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*, n≥2时，f_n（x）＝f（_n－1（x））＝             ．

观察下列式子：，，，，，由以上可推测出一个一般性结论：对于，的和         ．

把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则            ．

定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：，，， 依此方法可得：，其中，则        ．

观察下面的算式：
根据以上规律，把（为自然数且）写成这种和式形式，和式中最大的数为           ．

观察下列式子：，，，，，由以上可推测出一个一般性结论：对于，的和        ．

已知下列四个等式


依此类推，猜想第个等式为                                                   .