高中数学解答题

从含有两件正品a₁，a₂和一件次品b₁的3件产品中每次任取1件，
每次取出后不放回，连续取两次．
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．

为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值（单位：万元）与投入改造资金（单位：万元）之间的关系满足：
①与成正比例；
②当时，；
③改造资金满足不等式，其中为常数，且．
（1）求函数的解析式，并求出其定义域；
（2）问投入改造资金取何值时，产品附加值达到最大？

从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列命题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少1人在分数段的概率．

已知命题：“关于，的方程表示圆（）”，命题：“，使得（）”．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为假命题，求实数的取值范围．

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（2）若为函数在上的一个上界，求实数的取值范围．

一块边长为的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器．

（1）试把容器的容积表示成底边边长的函数；
（2）当时，求此容器的内切球（与四个侧面和底面均相切的球）的半径．

已知函数在上是增函数，且．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数在上的最大值．
（3）已知，证明．

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二等品；当时，产品为三级品．现用两种配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）
A配方的频率分布表

B配方的频率分布表

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；
（2）若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：
（其中），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

已知．
（1）求曲线在和处的切线互相平行，求a的值；
（2）求单调区间．
（3）设，若对任意的，存在使，求a的范围．

吉安市教育局组织中学生篮球比赛，共有实力相当的A，B，C，D四支代表队参加比赛，比赛规则如下：第一轮：抽签分成两组，每组两队进行一场比赛，胜者进入第二轮；第二轮：两队进行决赛，胜者得冠军．
（1）求比赛中A、B两队在第一轮相遇的概率；
（2）求整个比赛中A、B两队没有相遇的概率．

设数列的前n项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．

已知，．
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）若，且，证明：．

在直角坐标系中，已知点，点在中三边围成的区域（含边界）上，且．
（1）若，求；
（2）用表示并求的最大值．

如图，直角三角形ABC中，，，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将沿MN翻折，变为，使顶点落在边BC上（点和B点不重合），设．

（1）用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；
（2）求线段长度的最小值．