高中数学解答题

选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 (为参数)．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的最小值。

已知函数，，．
（1）若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
（2）若，记的两个零点为，求证：．

在中，角的对边分别为，向量．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的值．

已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.

若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.
（1）已知，且，写出、、；
（2）已知，且，求的前项和；
（3）已知，且（），若数列中，，，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值

已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.

已知函数（）的周期为.
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知的内角，，对应的边分别为，，，若，且，，求的面积.

已知数列满足，．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．

如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，点是棱上一点，满足．

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的正弦值为，求的值．

如图，是直角，圆与射线相切于点，与射线相交于两点．求证：平分．

如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：

（1）平面；
（2）平面平面．

如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．

（1）当k=4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．

在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．

已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M．