高中数学解答题

（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形。
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：为定值。
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离O为坐标原点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

（本小题满分12分）
设函数。
（1）求函数的极大值；
（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围。

（本小题满分12分）
如图5，已知曲线。从C上的点Q_n（）作x轴的垂线，交于点，再从作y轴的垂线，交C于点。设
（I）求的值，由此猜想数列的通项公式（不用证明）；
（II）设和面积为，求证

（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P－ABC中，，，点 分别是AC、PC的中点，底面AB
（1）求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成的角的大小；
（3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

（本小题满分12分）
某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心理健康测试和身体健康两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级.假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.

y 人数 x	身体健康
A	B	C	D	E
心理健康	A	1	3	1	0	1
B	1	0	7	5	1
C	2	1	0	9	3
D	1	b	6	0	a
E	0	0	1	1	3

（I）求a+b的值；
（II）如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为D等且身体健康为C等的概率；
（III）若“职工的心理健康为D等”与“职工的身体健康为B等”是相互独立事件，求a、b的值.

（本小题满分10分）
已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量
（I）如果求a的值；
（II）若请判断的形状.

（本小题满分12分）
已知，数列满足，，数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，求证：；
（3）求证：.

（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，向量，且 .
（I）设的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.

(本小题满分12分)
己知.
(Ⅰ)若，函数在其定义域内不是单调函数，求的取值范围；
(Ⅱ)当时，判断函数只有的零点个数.

（本小题满分12分）
一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．试求出该考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数的数学期望（用小数表示，精确到0.01）．

（本小题满分12分）
如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.

（本小题满分10分）请选做一题，都做时按先做的题判分，都做不加分.
（1）已知向量
①求函数的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若且，试判断△ABC的形状.
（2）已知锐角.
①求证：；
②设，求AB边上的高CD的长.

(本小题满分13分)
已知正项数列中，函数．
(Ⅰ)若正项数列满足，试求出.由此归纳出通项，并证明；
(Ⅱ)若正项数列满足，数列满足，其和为，求证：.

(本小题满分13分)

已知椭圆，与直线相交于两点，且，为坐标原点．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若椭圆长轴长的取值范围是，求椭圆离心率的取值范围．