高中数学解答题

已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，且，求直线的方程．

设数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.

（本小题满分12分）
在三棱柱中，，．分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求证：面；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，，求三棱锥的体积．

（本小题满分12分）
在某校举办的体育节上，参加定点投篮比赛的甲、乙两个小组各有编号为1，2，3，4的4名学生. 在比赛中，每人投篮10次，投中的次数统计如下表：

学生	1号	2号	3号	4号
甲组	6	6	9	7
乙组	9	8	7	4

 
（Ⅰ）从统计数据看，甲、乙两个小组哪个小组成绩更稳定（用数据说明）？
（Ⅱ）从甲、乙两组中各任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲组同学投中次数高于乙组同学投中次数的概率.

(本题小满分12分)
如图，平面四边形中，角，且.

（Ⅰ）求∠；
（Ⅱ）求四边形的面积.

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若的图象存在公共切线，求的取值范围.

(本小题满分14分)
已知函数，其中为常数．
（Ⅰ）若的图像在处的切线经过点（3,4），求的值；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）当函数存在三个不同的零点时，求的取值范围．

(本小题满分13分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为,，右焦点为，点是椭圆上异于，的动点，过点作椭圆的切线，直线与直线的交点为，且当时，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

(本小题满分12分)
已知数列的前项和，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，是否存在，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．

(本小题满分12分)
如图，已知,分别是正方形边,的中点，与交于点，都垂直于平面，且，是中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

(本小题满分12分)
为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.
（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.

	优秀人数	非优秀人数	总计
甲班
乙班		30
总计	60

（Ⅱ）现已知三人获得优秀的概率分别为，设随机变量表示三人中获得优秀的人数，求的分布列及期望.附:， 

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

 

(本小题满分12分)
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证：成等差数列；
（Ⅱ）若 求.

(本题满分13分)
设椭圆: 过，两点，其中为椭圆的
离心率，为坐标原点.
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的一条直线与椭圆交于两点，若，求弦的长.

(本题满分13分)
已知函数.
（I）若函数在处的切线与轴平行，求值；
（II）讨论函数在其定义域内的单调性；
（III）定义：若函数在区间D上任意都有，则称函数是区间D上的凹函数.设函数，其中是的导函数．根据上述定义，判断函数是否为其定义域内的凹函数，并说明理由.

(本题满分13分)
已知正项数列的前项和为，且满足，.
（I）求、的值，并求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，证明：.