高中数学解答题

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的切线方程是．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由

（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知，函数的最大值为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若实数满足，求的最小值．

（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，数列满足．
（1）若首项，证明数列为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列为递增数列，求首项的最小值．

（本小题满分13分）如图，菱形的边长为，现将沿对角线折起至位置，并使平面平面．

（1）求证：；
（2）在菱形中，若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求四面体体积的最大值．

（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线和与直线分别交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点为F₁、F₂,离心率为,过点F₁的直线交椭圆于A、B两点,△AF₂B的周长为8．

（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆的左、右顶点为C、D,四边形ABCD的面积为,求直线的方程．

（本小题满分12分）已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围

已知椭圆 上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线与椭圆交于两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切，证明： 为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围．

（本小题满分1 4分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与
构成正三角形．
（1）求椭圆的方程：
（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，，试问在轴上是否存在定点，使
恒为定值？若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分1 2分）己知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且，，构成等比数列：数列的前项和为，满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由．

已知函数．
（1）当 时，与在定义域上单调性相反，求的最小值。
（2）当时，求证：存在，使有三个不同的实数解，且对任意且都有．

已知数列中,
（1）求证:是等比数列,并求的通项公式;
（2）数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围．

（本小题满分13分） 已知椭圆E中心在原点，一个焦点为 ，离心率
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是长为的椭圆E动弦，为坐标原点，求面积的最大值与最小值

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆右顶点到直线的距离为，离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆与y轴负半轴的交点，设直线：，是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，是∣AM∣=∣AN∣，若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由。

已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．
（Ⅰ）若，且，求实数的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．