高中数学解答题

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-x^2+\mathit{ax}+1$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

已知抛物线 $C:y^2=2\mathit{px}(p>0)$的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\overrightarrow{\mathit{PQ}}=9\overrightarrow{\mathit{QF}}$，求直线 $\mathit{OQ}$斜率的最大值.

设 $\left\{a_n\right\}$是首项为1的等比数列，数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $b_n=\frac{n{a}_n}{3}$．已知 $a_1$， $3a_2$， $9a_3$成等差数列．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）记 $S_n$和 $T_n$分别为 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的前n项和．证明： $T_n<\frac{S_n}{2}$．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$，M为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）证明：平面 $\mathit{PAM}\perp$平面 $\mathit{PBD}$；

（2）若 $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$，求四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的体积．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot C$的圆心为，半径为1．

（1）写出 $\odot C$的一个参数方程;

（2）过点 $F\left(4,1\right)$作 $\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知抛物线 $C:x^2=2\mathit{py}\left(p>0\right)$的焦点为 $F$，且 $F$与圆 $M:x^2+(y+4{)}^2=1$上点的距离的最小值为 $4$．

（1）求 $p$；

（2）若点 $P$在 $M$上， $\mathit{PA},\mathit{PB}$是 $C$的两条切线， $A,B$是切点，求 $△\mathit{PAB}$面积的最大值．

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{ln}\left(a-x\right)$，已知 $x=0$是函数 $y=\mathit{xf}\left(x\right)$的极值点．

（1）求a；

（2）设函数 $g\left(x\right)=\frac{x+f\left(x\right)}{\mathit{xf}\left(x\right)}$．证明: $g\left(x\right)<1$．

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和， $b_n$为数列 $\left\{S_n\right\}$的前n项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$．

（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列;

（2）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的底面是矩形， $\mathit{PD}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{PD}=\mathit{DC}=1$， $M$为 $\mathit{BC}$的中点，且 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$．

（1）求 $\mathit{BC}$；

（2）求二面角 $A-\mathit{PM}-B$的正弦值．

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|,g\left(x\right)=\left|2x+3\right|-\left|2x-1\right|$．

（1）画出和 $y=g\left(x\right)$图像；

（2）若 $f\left(x+a\right)\ge g\left(x\right)$，求a的取值范围．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\mathit{cos}\theta$．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为 $\left(1,0\right)$，M为C上的动点，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{AP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{AM}}$，写出Р的轨迹 $C_1$的参数方程，并判断C与 $C_1$是否有公共点．