高中数学解答题

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A ， B ， C ， D四个等级.加工业务约定：对于 A级品、 B级品、 C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级	A	B	C	D
频数	40	20	20	20

乙分厂产品等级的频数分布表

等级	A	B	C	D
频数	28	17	34	21

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a^2\right|+|x-2a+1|$ .

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f\left(x\right)⩾4$ 的解集；

（2）若 $f\left(x\right)⩾4$ ，求 a的取值范围.

已知曲线C₁，C₂的参数方程分别为C₁：（θ为参数），C₂： $\left\{\begin{array}{c}x=t+\frac{1}{t},\\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（t为参数）.

（1）将C₁，C₂的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C₁，C₂的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）= $\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$的单调性．

如图，已知三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁的底面是正三角形，侧面 BB ₁ C ₁ C是矩形， M， N分别为 BC， B ₁ C ₁的中点， P为 AM上一点．过 B ₁ C ₁和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F．

（1）证明： AA ₁// MN，且平面 A ₁ AMN⊥平面 EB ₁ C ₁ F；

（2）设 O为△ A ₁ B ₁ C ₁的中心，若 AO= AB=6， AO//平面 EB ₁ C ₁ F，且∠ MPN= $\frac{\pi }{3}$ ，求四棱锥 B- EB ₁ C ₁ F的体积．

已知椭圆C₁： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$|AB|．

（1）求C₁的离心率；

（2）若C₁的四个顶点到C₂的准线距离之和为12，求C₁与C₂的标准方程．

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x_i，y_i)(i=1，2，…，20)，其中x_i和y_i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}{x}_i=60$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}{y}_i=1200$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（x_i-\bar{x}{)}^2=80$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（y_i-\bar{y}{)}^2=9000$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（x_i-\bar{x})（y_i-\bar{y})=800$.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(x_i，y_i)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数r= $\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（x_i-\bar{x})（y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（x_i-\bar{x}{)}^2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（y_i-\bar{y}{)}^2}}$，≈1.414.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${\mathit{cos}}^2(\frac{\pi }{2}+A)+\mathit{cos}A=\frac{5}{4}$．

（1）求A；

（2）若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，证明：△ABC是直角三角形．

设 a， b， c $\in$ R， a+ b+ c=0， abc=1．

（1）证明： ab+ bc+ ca<0；

（2）用max{ a， b， c}表示 a， b， c中的最大值，证明：max{ a， b， c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2-t-t^2，\\ y=2-3t+t^2\end{array}\right.$ ( t为参数且 t≠1)， C与坐标轴交于 A， B两点.

（1）求| $\mathit{AB}$ |：

（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程.

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $\left|\mathit{BP}\right|=\left|\mathit{BQ}\right|$ ， $\mathit{BP}\perp \mathit{BQ}$ ，求 $△\mathit{APQ}$ 的面积．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-\mathit{kx}+k^2$ ．

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

如图，在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $D{D}_1$ ， 上，且 $2\mathit{DE}=E{D}_1$ ， $\mathit{BF}=2F{B}_1$ ．证明：

（1）当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ 时， $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）点 $C_1$ 在平面 $\mathit{AEF}$ 内．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次 空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

P( K ^2≥ k)	0.050	0.010	0.001
k	3 841	6.635	10.828

设等比数列{ a _n}满足 $a_1+a_2=4$ ， $a_3-a_1=8$ ．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）记 $S_n$ 为数列{log ₃ a _n}的前 n项和．若 $S_m+{S_{m+}}_1={S_m}_{+3}$ ，求 m．