高中数学解答题

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中， $a_1=b_1=c_1=1,c_n=a_{n+1}-a_n,c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}}\cdot c_n(n\in N^{*})$．

（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比 $q>0$，且 $b_1+b_2=6b_3$，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差 $d>0$，证明： $c_1+c_2+\cdots +c_n<1+\frac{1}{d}$．

如图，三棱台 DEF- ABC中，面 ADFC⊥面 ABC，∠ ACB=∠ ACD=45°， DC=2 BC．

（I）证明： EF⊥ DB；

（II）求 DF与面 DBC所成角的正弦值．

在锐角△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 $2b\mathit{sin}A=\sqrt{3}a$ ．

（I）求角 B；

（II）求cos A+cos B+cos C的取值范围．

已知 $\left\{a_n\right\}$是无穷数列．给出两个性质：

①对于 $\left\{a_n\right\}$中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在一项 $a_m$，使 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；

②对于 $\left\{a_n\right\}$中任意项 $a_n(n⩾3)$，在 $\left\{a_n\right\}$中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$．使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}$．

(Ⅰ)若 $a_n=n(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_n=2^{n-1}(n=1,2,\cdots )$，判断数列 $\left\{a_n\right\}$是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\left\{a_n\right\}$是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\left\{a_n\right\}$为等比数列.

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点 $A(-2,-1)$，且 $a=2b$．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点 $M,N$,直线 $\mathit{MA},\mathit{NA}$分别交直线 $x=-4$于点 $P,Q$．求 $\frac{\left|\mathit{PB}\right|}{\left|\mathit{BQ}\right|}$的值．

已知函数 $f\left(x\right)=12-x^2$．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$的斜率等于 $-2$的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(t,f(t\left)\right)$处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S\left(t\right)$，求 $S\left(t\right)$的最小值．

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

	男生		女生
	支持	不支持	支持	不支持
方案一	200人	400人	300人	100人
方案二	350人	250人	150人	250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_0$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_1$ ，试比较 $p_0$ 与 $p_1$ 的大小．（结论不要求证明）

在 $△\mathit{ABC}$中， $a+b=11$，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\mathit{sin}C$和 $△\mathit{ABC}$的面积．

条件①： $c=7,\mathit{cos}A=-\frac{1}{7}$；

条件②： $\mathit{cos}A=\frac{1}{8},\mathit{cos}B=\frac{9}{16}$．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， E为 的中点．

（Ⅰ）求证： $B{C}_1//$ 平面 $A{D}_{1}E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A{A}_1$ 与平面 $A{D}_{1}E$ 所成角的正弦值．

已知函数 $f\left(x\right)=|3x+1|-2|x-1|$ ．

（1）画出 $y=f\left(x\right)$ 的图像；

（2）求不等式 $f\left(x\right)>f(x+1)$ 的解集．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $(t$为参数 $)$．以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $4\rho \mathit{cos}\theta -16\rho \mathit{sin}\theta +3=0$．

（1）当 $k=1$时， $C_1$是什么曲线？

（2）当 $k=4$时，求 $C_1$与 $C_2$的公共点的直角坐标．

已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\overrightarrow{\mathit{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathit{GB}}=8$，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a(x+2)$.

（1）当 $a=1$时，讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$有两个零点，求 $a$的取值范围.

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $△\mathit{ABC}$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $\mathit{DO}$ 上一点，∠ APC=90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；

（2）设 DO= $\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3}\pi$ ，求三棱锥 P− ABC的体积.

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a= $\sqrt{3}$c，b=2 $\sqrt{7}$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）若sinA+ $\sqrt{3}$sinC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求C.