高中数学解答题

在极坐标系中，已知点 $A({\rho }_1,\frac{\pi }{3})$在直线 $l:\rho \mathit{cos}\theta =2$上，点 $B({\rho }_2,\frac{\pi }{6})$在圆 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上（其中 $\rho \ge 0$， $0\le \theta <2\pi$）．

（1）求 ${\rho }_1$， ${\rho }_2$的值

（2）求出直线 $l$与圆 $C$的公共点的极坐标．

平面上点 $A(2,-1)$在矩阵 $M=\left[\begin{array}{c}\mathit{a\hspace{1em}}1\\ -1\mathit{\hspace{1em}b}\end{array}\right]$对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$．

（1）求实数 $a$， $b$的值；

（2）求矩阵 $M$的逆矩阵 $M^{-1}$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 ${S_{n+1}}^{\frac{1}{k}}-{S_n}^{\frac{1}{k}}=\lambda {a_{n+1}}^{\frac{1}{k}}$成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列 $\left\{a_n\right\}$是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$是“ $\frac{\sqrt{3}}{3}-2$”数列，且a_n＞0，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_n\right\}$为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

已知关于x的函数 $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$与 $h\left(x\right)=\mathit{kx}+b(k,b\in R)$在区间D上恒有 $f\left(x\right)\ge h\left(x\right)\ge g\left(x\right)$．

（1）若 $f\left(x\right)=x^2+2x，g\left(x\right)=-x^2+2x，D=(-\infty ，+\infty )$，求h(x)的表达式；

（2）若 $f\left(x\right)=x^2-x+1，g\left(x\right)=\mathit{k}\mathit{ln}x，h\left(x\right)=\mathit{kx}-k,D=(0，+\infty )$，求k的取值范围；

（3）若 $f\left(x\right)=x^4-2x^2，g\left(x\right)=4x^2-8，h\left(x\right)=4\left(t^2-t\right)x-3t^4+2t^2(0<\left|\mathit{t}\right|\le \sqrt{2})，D=\left[m,\mathit{n}\right]\subseteq \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]，$求证： $n-m\le \sqrt{7}$．

在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF ₂⊥ F ₁ F ₂，直线 AF ₁与椭圆 E相交于另一点 B．

（1）求△ AF ₁ F ₂的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{QP}}$ 的最小值；

（3）设点 M在椭圆 E上，记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S ₁， S ₂，若 S ₂=3 S ₁，求点 M的坐标．

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O{O}^{\text{'}}$ 为铅垂线( $O^{\text{'}}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_1$ (米)与 D到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_1=\frac{1}{40}{a}^2$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_2$ (米)与 F到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_2=-\frac{1}{800}{b}^3+6b$ .已知点 B到 $O{O}^{\text{'}}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O{O}^{\text{'}}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2}k$ (万元)( k>0).问 $O^{\text{'}}E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a=3,c=\sqrt{2},B=45°$ ．

（1）求 $\mathit{sin}C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADC}=-\frac{4}{5}$ ，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{DAC}$ 的值．

在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+k\mathit{ln}x(k\in R)$， $f^{\text{'}}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）当 $k=6$时，

（i）求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（ii）求函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{9}{x}$的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k⩾-3$时，求证：对任意的 $x_1,\hspace{1em}{x}_2\in [1,+\infty )$，且 $x_1>x_2$，有 $\frac{f^{\text{'}}\left(x_1\right)+f^{\text{'}}\left(x_2\right)}{2}>\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $\left\{b_n\right\}$为等比数列， $a_1=b_1=1,a_5=5\left(a_4-a_3\right),b_5=4\left(b_4-b_3\right)$．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，求证： $S_n{S}_{n+2}<S_{n+1}^2\left(n\in {\mathit{N}}^{*}\right)$；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$，设 $c_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left(3a_n-2\right)b_n}{a_n{a}_{n+2}},& n\mathit{为奇数},\\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}},& n\mathit{为偶数}.\end{array}\right.$求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $2n$项和．

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个顶点为 $A(0,-3)$，右焦点为 $F$，且 $\left|\mathit{OA}\right|=\left|\mathit{OF}\right|$，其中 $O$为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点 $C$满足 $3\overrightarrow{\mathit{OC}}=\overrightarrow{\mathit{OF}}$，点 $B$在椭圆上（ $B$异于椭圆的顶点），直线 $\mathit{AB}$与以 $C$为圆心的圆相切于点 $P$，且 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点．求直线 $\mathit{AB}$的方程．

如图，在三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 $\mathit{ABC},\mathit{AC}\perp \mathit{BC},\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$ ， $C{C}_1=3$ ，点 $D,\mathit{\hspace{1em}E}$ 分别在棱 $A{A}_1$ 和棱 $C{C}_1$ 上，且 $\mathit{AD}=1\mathit{\hspace{1em}CE}=2,\mathit{\hspace{1em}M}$ 为棱 $A_1{B}_1$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1}M\perp B_{1}D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B-B_{1}E-D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\mathit{AB}$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角的正弦值．

在 $△\mathit{ABC}$中，角所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $a=2\sqrt{2},b=5,c=\sqrt{13}$．

（Ⅰ）求角 $C$的大小；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}A$的值；

（Ⅲ）求 $\mathit{sin}\left(2A+\frac{\pi }{4}\right)$的值．

已知 $1<a\le 2$，函数 $f\left(x\right)=e^x-x-a$，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在 $(0，+\infty )$上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数在 $(0，+\infty )$上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a-1}\le x_0\le \sqrt{2(a-1)}$；

（ⅱ） $x_{0}f(e^{x_0})\ge (e-1\left)\right(a-1)a$．

如图，已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ ，抛物线 $C_2:y^2=2\mathit{px}(p>0)$ ，点 A是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点，过点 A的直线 l交椭圆 $C_1$ 于点 B，交抛物线 $C_2$ 于 M（ B， M不同于 A）．

（Ⅰ）若 $p=\frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．