高中数学解答题

如果对任意 $x_1,x_2\in R$ ,当 $x_1-x_2\in S$ 时, 都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\in S$ ,则称 $f\left(x\right)$ 是 $S$ 关联的.

(1)判断和证明 $f\left(x\right)=2x-1$ 是 $Z^{+}$ 关联的吗?是 $\left[0,1\right]$ 关联的吗?

(2) $f\left(x\right)$ 是 $\left\{3\right\}$ 关联的,当 $x\in [0,3)$ 时， $f\left(x\right)=x^2-2x$ ,解不等式 $2⩽f\left(x\right)⩽3$ .

(3)" $f\left(x\right)$ 是 $\left\{1\right\}$ 关联的,且是 $[0,+\infty )$ 关联的"当且仅当" $f\left(x\right)$ 是 $\left[1,2\right]$ 关联的"

桶圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1,F_1,F_2$ 分别为左右焦点, 过点 $P\left(m,0\right)(m<-\sqrt{2})$ 的直线交椭圆于点 $A,B$ 且点 $A,B$ 在 $x$ 轴的上方, $A$ 在 $P,B$ 的中间.

(1) 若 $B$ 是上顶点, $\left|\overrightarrow{B{F}_1}\right|=\left|\overrightarrow{P{F}_1}\right|$, 求 $m$.

(2) 若 $\overrightarrow{F_{1}A}\cdot \overrightarrow{F_{2}A}=\frac{1}{3}$, 且 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{15}}{15}$, 求直线 $l$ 的方程.

(3) 求证：对任意的 $m<-\sqrt{2}$, 使得 $F_{1}A\parallel B{F}_2$ 的直线有且仅有一条.

已知某企业 2021 年第一季度的营业额为 $1.1$ 亿元, 以后每个季度的营业额比上个季度增加 $0.05$ 亿元, 该 企业第一季度的利润为 $0.16$ 亿，以后每季度比前一季度增长 $4\%$.

(1) 求2021年起前20季度营业额的总和；

(2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 $18\%$?

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中, $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$, 且 $a=3,b=2c$.

(1) 若 $A=\frac{2\pi }{3}$, 求 $△\mathit{ABC}$ 的面积. (2) 若 $2\text{sin}B-\text{sin}C=1$, 求 $△\mathit{ABC}$ 的周长.

如图, 在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, 已知 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2,A{A}_1=3$.

(1) 若点 $P$ 是棱 $A_1{D}_1$ 上的动点, 求三棱锥 $C-\mathit{PAD}$ 的体积.

(2) 求直线 $A{B}_1$ 与平面 $\mathit{AC}{C}_1{A}_1$ 的夹角大小.

定义 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}:$ 对 $p\in R$, 满足:

① $a_1+p⩾0,a_2+p=0$;

② $\forall n\in N^{*},a_{4n-1}<a_{4n}$;

③ $\forall m,n\in N^{*},a_{m+n}\in \left\{a_m+a_n+p,a_m+a_n+p+1\right\}$.

(1) 对前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列, 可以是 $R_2$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $R_0$ 数列, 求 $a_5$ 的值.

(3) 是否存在 $p\in R$, 使得存在 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}$, 对任意 $n\in N^{*}$, 满足 $S_n⩾S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$; 若不存在, 请说明理由.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $A\left(0,-2\right)$ , 以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2) 过点 $P\left(0,-3\right)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$ , 直线 $\mathit{AB},\mathit{AC}$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$ , 若 $\left|\mathit{PM}\right|+\left|\mathit{PN}\right|⩽15$ , 求 $k$ 的取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{3-2x}{x^2+a}$.

(1) 若 $a=0$, 求 $y=f\left(x\right)$ 在 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程.

(2) 若函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 处取得极值, 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“ $k$ 合 1 检测法", 即将 $k$ 个人的拭自样本合并检测, 若为阴性, 则可确定有样本都是阴性的; 若为阳性, 则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 100 人, 已知其中 2 人 感染病毒.

(1) ①若采用“ 10 合 1 检测法”, 且两名感染患者在同一组, 求总检测次数.

② 已知 10 人分成一组, 分 10 组, 两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$, 定义随机变量 $X$ 为总检测次数, 求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E\left(X\right)$.

(2) 若采用“ 5 合 1 检测法”, 检测次数 $Y$ 的期望为 $E\left(Y\right)$, 试比较 $E\left(X\right)$ 与 $E\left(Y\right)$ 的大小（直接写出结果).

已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, 点 $E$ 为 $A_1{D}_1$ 中点, 直线 $B_1{C}_1$ 交平面 $\mathit{CDE}$ 于点 $F$.

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_1{C}_1$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上一点, 且二面角 $M-\mathit{CF}-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 求 $\frac{\left|A_{1}M\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$.

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中, $c=2b\text{cos}B,C=\frac{2\pi }{3}$.

(1) 求 $B$ 的大小.

(2) 在三个条件中选择一个作为已知, 使 $△\mathit{ABC}$ 存在且唯一确定, 并求 $\mathit{BC}$ 边上中线的长度.

（3）① $c=\sqrt{2}b$; ② $△\mathit{ABC}$ 的周长为 $4+2\sqrt{3}$; ③ $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

已知 $f\left(x\right)=\left|\text{lg}x\right|-\mathit{kx}-2$, 给出下列四个结论:

(1) 若 $k=0$, 则 $f\left(x\right)$ 有两个零点;

(2) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有一个零点;

(3) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点;

(4) 存在 $k>0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点.

以上正确结论的序号是。

设a，b为实数，且 $a>1$，函数 $f\left(x\right)=a^x-\mathit{bx}+e^2(x\in R)$

（1）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若对任意 $b>2e^2$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当 $a=e$时，证明：对任意 $b>e^4$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点 $x_1,x_2$，满足 $x_2>\frac{b\mathit{ln}b}{2e^2}{x}_1+\frac{e^2}{b}$.

(注： $e=2.71828\cdot \cdot \cdot$是自然对数的底数)

如图，已知F是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线的准线与x轴的交点，且 $\left|MF\right|=2$ ，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $\mathit{MA},$ $MB,$ $AB$ ， $x$ 轴依次交于点P，Q，R，N，且 ${\left|RN\right|}^2=\left|PN\right|·\left|QN\right|$ ，求直线 $L$ 在 $x$ 轴上截距的范围。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和为 $S_n$， $a_1=-\frac{9}{4}$，且 $4S_{n+1}=3S_n-9$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项；

（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $3b_n+(n-4)a_n=0$，记 $\left\{b_n\right\}$的前n项和为 $T_n$，若 $T_n\le \lambda b_n$对任意 $n\in N^{*}$恒成立，求 $\lambda$的范围.