高中数学解答题

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$中，底面 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\angle \mathit{ABC}=120°,\mathit{AB}=1,\mathit{BC}=4,\mathit{PA}=\sqrt{15}$，M，N分别为 $\mathit{BC},\mathit{PC}$的中点， $\mathit{PD}\perp \mathit{DC},\mathit{PM}\perp \mathit{MD}$.

（1）证明： $\mathit{AB}\perp \mathit{PM}$；

（2）求直线 $\mathit{AN}$与平面 $\mathit{PDM}$所成角的正弦值.

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x+\mathit{cos}x(x\in R)$.

（1）求函数 $y={\left[f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}^2$的最小正周期；

（2）求函数 $y=f\left(x\right)f\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最大值.

已知函数 $f\left(x\right)=(x-1)e^x-a{x}^2+b$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f\left(x\right)$有一个零点

① $\frac{1}{2}<a\le \frac{e^2}{2},b>2a$；

② $0<a<\frac{1}{2},b\le 2a$．

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3)$．

（1）已知 $p_0=0.4,p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1$，求 $E\left(X\right)$；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+p_3{x}^3=x$的一个最小正实根，求证：当 $E\left(X\right)\le 1$时， $p=1$，当 $E\left(X\right)>1$时， $p<1$；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

已知椭圆C的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $\mathit{MN}$与曲线 $x^2+y^2=b^2(x>0)$相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $\left|\mathit{MN}\right|=\sqrt{3}$．

在四棱锥中，底面 $\mathit{ABCD}$是正方形，若 $\mathit{AD}=2,\mathit{QD}=\mathit{QA}=\sqrt{5},\mathit{QC}=3$．

（1）证明：平面 $\mathit{QAD}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$；

（2）求二面角 $B-\mathit{QD}-A$的平面角的余弦值．

在 $△\mathit{ABC}$中，角 $A$、 $B$、 $C$所对的边长分别为 $a$、 $b$、 $c$， $b=a+1$， $c=a+2$.．

（1）若 $2\mathit{sin}C=3\mathit{sin}A$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）是否存在正整数 $a$，使得 $△\mathit{ABC}$为钝角三角形?若存在，求出 $a$的值；若不存在，说明理由．

记 $S_n$是公差不为0的等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和，若 $a_3=S_5,a_2{a}_4=S_4$．

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n$；

（2）求使 $S_n>a_n$成立的n的最小值．

已知函数 $f\left(x\right)=x\left(1-\mathit{ln}x\right)$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）设 $a$， $b$为两个不相等的正数，且 $b\mathit{ln}a-a\mathit{ln}b=a-b$，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$.

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $F_1\left(-\sqrt{17},0\right)$、 $F_2\left(\sqrt{17},0\right)\left|M{F}_1\right|-\left|M{F}_2\right|=2$，点 $M$的轨迹为 $C$.

（1）求 $C$的方程；

（2）设点 $T$在直线 $x=\frac{1}{2}$上，过 $T$的两条直线分别交 $C$于 $A$、 $B$两点和 $P$， $Q$两点，且 $\left|\mathit{TA}\right|\cdot \left|\mathit{TB}\right|=\left|\mathit{TP}\right|\cdot \left|\mathit{TQ}\right|$，求直线 $\mathit{AB}$的斜率与直线 $\mathit{PQ}$的斜率之和.

如图，在三棱锥 $A-\mathit{BCD}$中，平面 $\mathit{ABD}\perp$平面 $\mathit{BCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $O$为 $\mathit{BD}$的中点.

（1）证明： $\mathit{OA}\perp \mathit{CD}$；

（2）若 $△\mathit{OCD}$是边长为1的等边三角形，点 $E$在棱 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DE}=2\mathit{EA}$，且二面角 $E-\mathit{BC}-D$的大小为 $45°$，求三棱锥 $A-\mathit{BCD}$的体积.

记 $△\mathit{ABC}$是内角 $A$， $B$， $C$的对边分别为 $a$， $b$， $c$.已知 $b^2=\mathit{ac}$，点 $D$在边 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}\mathit{sin}\angle \mathit{ABC}=a\mathit{sin}C$.

（1）证明：；

（2）若 $\mathit{AD}=2\mathit{DC}$，求 $\mathit{cos}\angle \mathit{ABC}$

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记 $X$为小明的累计得分，求 $X$的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1$， $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{c}{a}_n+1,n\mathit{为奇数},\\ a_n+2,n\mathit{为偶数}.\end{array}\right.$

（1）记 $b_n=a_{2n}$，写出 $b_1$， $b_2$，并求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）求 $\left\{a_n\right\}$的前20项和.

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．