高中数学解答题

如图, 在棱长为 2 的正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $E,F$分别为棱 $\mathit{BC},\mathit{CD}$的中点.

(1) 求证： $D_{1}F\Vert A_{1}E{C}_1$.

(2) 求直线 $A{C}_1$ 与平面 $A_{1}E{C}_1$ 所成角的正弦值.

(3) 求二面角 $A-A_1{C}_1-E$ 的正弦值.

在 $△\mathit{ABC}$ 中, 内角 $A,B,C$对边分别为 $\mathit{sin}A:\mathit{sin}B:\mathit{sin}C=2:1:\sqrt{2},b=\sqrt{2}$.

(1) 求 $a$ 的值.

(2) 求 $\mathit{cos}C$ 的值.

(3) 求 $\mathit{sin}\left(2C-\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$满足：只要 $a_p=a_q(p,q\in N^{*})$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$．

（1）若 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$，且 $a_1=1$， $a_2=2$， $a_4=3$， $a_5=2$， $a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$；

（2）若无穷数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\}$是公比为正数的等比数列， $b_1=c_5=1$； $b_5=c_1=81$， $a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\}$是否具有性质 $P$，并说明理由；

（3）设 $\left\{b_n\right\}$是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n(n\in N^{*})$，求证：“对任意 $a_1$， $\left\{a_n\right\}$都具有性质 $P$”的充要条件为“ $\left\{b_n\right\}$是常数列”．

已知 $a\in R$，函数 $f\left(x\right)={\log }_2(\frac{1}{x}+a)$．

（1）当 $a=5$时，解不等式 $f\left(x\right)>0$；

（2）若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)-{\log }_2\left[\right(a-4)x+2a-5]=0$的解集中恰好有一个元素，求 $a$的取值范围．

（3）设 $a>0$，若对任意 $t\in [\frac{1}{2}$， $1]$，函数 $f\left(x\right)$在区间 $[t$， $t+1]$上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$的取值范围．

双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1$， $F_2$，直线 $l$过 $F_2$且与双曲线交于 $A$， $B$两点．

（1）直线 $l$的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$，△ $F_1\mathit{AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$的斜率存在，且 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})·\overrightarrow{\mathit{AB}}=0$，求 $l$的斜率．

有一块正方形 $\mathit{EFGH}$， $\mathit{EH}$所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 $S_1$和 $S_2$，其中 $S_1$中的蔬菜运到河边较近， $S_2$中的蔬菜运到 $F$点较近，而菜地内 $S_1$和 $S_2$的分界线 $C$上的点到河边与到 $F$点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$为 $\mathit{EF}$的中点，点 $F$的坐标为 $(1,0)$，如图

（1）求菜地内的分界线 $C$的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_1$面积是 $S_2$面积的两倍，由此得到 $S_1$面积的经验值为 $\frac{8}{3}$．设 $M$是 $C$上纵坐标为1的点，请计算以 $\mathit{EH}$为一边，另一边过点 $M$的矩形的面积，及五边形 $\mathit{EOMGH}$的面积，并判断哪一个更接近于 $S_1$面积的“经验值”．

将边长为1的正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$（及其内部）绕 $O{O}_1$旋转一周形成圆柱，如图， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$长为 $\frac{2}{3}\pi$， $\stackrel{̂}{A1B1}$长为 $\frac{\pi }{3}$，其中 $B_1$与 $C$在平面 $A{A}_1{O}_{1}O$的同侧．

（1）求三棱锥 $C-O_1{A}_1{B}_1$的体积；

（2）求异面直线 $B_{1}C$与 $A{A}_1$所成的角的大小．

已知函数 $f\left(x\right)=|2x-a|+a$．

（1）当 $a=2$时，求不等式 $f\left(x\right)⩽6$的解集；

（2）设函数 $g\left(x\right)=|2x-1|$，当 $x\in R$时， $f\left(x\right)+g\left(x\right)⩾3$，求 $a$的取值范围．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.(\alpha$为参数），以坐标原点为极点，以 $x$轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$．

（1）写出 $C_1$的普通方程和 $C_2$的直角坐标方程；

（2）设点 $P$在 $C_1$上，点 $Q$在 $C_2$上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$的最小值及此时 $P$的直角坐标．

如图， $\odot O$中 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点为 $P$，弦 $\mathit{PC}$， $\mathit{PD}$分别交 $\mathit{AB}$于 $E$， $F$两点．

（1）若 $\angle \mathit{PFB}=2\angle \mathit{PCD}$，求 $\angle \mathit{PCD}$的大小；

（2）若 $\mathit{EC}$的垂直平分线与 $\mathit{FD}$的垂直平分线交于点 $G$，证明： $\mathit{OG}\perp \mathit{CD}$．

设函数 $f\left(x\right)=a\cos 2x+(a-1)(\cos x+1)$，其中 $a>0$，记 $\left|f\right(x\left)\right|$的最大值为 $A$．

（Ⅰ）求 $f\text{'}\left(x\right)$；

（Ⅱ）求 $A$；

（Ⅲ）证明： $|f\text{'}(x\left)\right|⩽2A$．

已知抛物线 $C:y^2=2x$的焦点为 $F$，平行于 $x$轴的两条直线 $l_1$， $l_2$分别交 $C$于 $A$， $B$两点，交 $C$的准线于 $P$， $Q$两点．

（Ⅰ）若 $F$在线段 $\mathit{AB}$上， $R$是 $\mathit{PQ}$的中点，证明 $\mathit{AR}//\mathit{FQ}$；

（Ⅱ）若 $\mathit{\Delta PQF}$的面积是 $\mathit{\Delta ABF}$的面积的两倍，求 $\mathit{AB}$中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$中， $\mathit{PA}\perp$底面 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=\mathit{AC}=3$， $\mathit{PA}=\mathit{BC}=4$， $M$为线段 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{AM}=2\mathit{MD}$， $N$为 $\mathit{PC}$的中点．

（1）证明： $\mathit{MN}//$平面 $\mathit{PAB}$；

（2）求直线 $\mathit{AN}$与平面 $\mathit{PMN}$所成角的正弦值．

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码 $1-7$分别对应年份 $2008-2014$．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$与 $t$的关系，请用相关系数加以证明；

（Ⅱ）建立 $y$关于 $t$的回归方程（系数精确到 $0.01)$，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{y}_i=9.32$， $\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{t}_i{y}_i=40.17$， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum }}{(y_i-\bar{y})}^2}=0.55$， $\sqrt{7}\approx 2.646$．

参考公式：相关系数 $r=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(t_i-\bar{t})}^2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(y_i-\bar{y})}^2}}$，

回归方程 $\stackrel{̂}{y}=\stackrel{̂}{a}+\stackrel{̂}{b}t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\stackrel{̂}{b}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{(t_i-\bar{t})}^2}$， $\stackrel{̂}{a}=\bar{y}-\stackrel{̂}{b}\bar{t}$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=1+\lambda a_n$，其中 $\lambda \ne 0$．

（1）证明 $\left\{a_n\right\}$是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_5=\frac{31}{32}$，求 $\lambda$．