高中数学试题

设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$ ,若 $P(\xi >c+1)=P(\xi <c-1)$ ,则 $c=(\mathrm{}$    )

A．	1
B．	2
C．	3
D．	4

已知变量 $x$ 、 $y$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 1,\\ x-y\le 0,\mathrm{}\\ x+2y-9\le 0\end{array}\right.$ ，则 $x+y$ 的最大值是（  ）

A．	2
B．	5
C．	6
D．	8

" $|x-1|<2$ 成立"是 " $x(x-3)<0$ 成立"的(    )

A．	充分不必要条件
B．	必要不充分条件
C．	充分必要条件
D．	既不充分也不必要条件

复数 ${\left(i-\frac{1}{i}\right)}^3$ 等于(    $)$

A．	8
B．	$-8$
C．	8i
D．	$-8i$

(1) 求 $7{\mathrm{C}}_6^3-4{\mathrm{C}}_7^4$ 的值;

(2) 设 $m,n\in {\mathbf{N}}^{*},n⩾m$, 求证:

$(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+(m+3)C_{m+2}^m+\cdots +n{C}_{n-1}^m+(n+1)C_n^m=(m+1)C_{n+2}^{m+2}$

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知直线 $l:x-y-2=0$, 抛物线 $C:{\mathrm{y}}^2=2\mathit{px}(p>0)$

(1) 若直线 $l$过抛物线 $C$ 的焦点, 求抛物线 $C$ 的方程;

(2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$对称的相异两点 $P$ 和 $Q$.

①求证：线段 $\mathit{PQ}$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$;

②求 $p$ 的取值范围.

D.（选做题选修 $4-4$）

设 $a>0,|x-1|<\frac{a}{3},|y-2|<\frac{a}{3}$，求证： $|2x+y-4|<a$。

C.（选做题选修 $4-3$）在平面之间坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知直线 $I$的参数方程式为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\left(t\text{为参数}\right)\right.$，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\cos \theta ,\\ y=2\sin \theta \end{array}\mathrm{}(\theta \right.$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$, $B$ 两点, 求线段 $\mathit{AB}$ 的长.

B.（选择题选修 4－2）已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& 2\end{array}\right]$, 求矩阵 $\mathit{AB}$.

A.（选做题选修 $4-1$）如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$， $D$为垂足， $E$为 $\mathit{BC}$得中点，求证： $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABD}$。

记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$. 对数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $\mathrm{T}$, 若 $T=\varnothing$, 定义 $S_T=0;$ 若

$T=\left\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\right\}$, 定 义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$. 例 如 : $\mathrm{}T=\{1,3,66\}$ 时 ,

$S_T=a_1+a_3+a_{66}.$ 现设 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T=\{2,4\}$ 时,

$S_T=30$

(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k(1\le k\le 100)$, 若 $T\subseteq \{1,2,\cdots ,\mathrm{k}\}$, 求证: $S_T<a_{k+1}$;

(3) 设 $C\subseteq U,D\subseteq U,S_C\ge S_D$, 求证: $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$.

已知函数 $f\left(x\right)=a^x+b^x(a>0,b>0,a\ne 1,b\ne 1)$.

（1）设 $a=2,b=\frac{1}{2}$.

①求方程 $f\left(x\right)=2$ 的根;

②若对任意 $x\in R$, 不等式 $f\left(2x\right)\ge m\mathrm{f}\left(x\right)-6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0<a<1,b>1$, 函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$ 有且只有 1 个零点, 求 $\mathit{ab}$ 的值。

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $\mathit{OA}$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点, 且 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$, 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$, 使得 $\overrightarrow{\mathit{TA}}+\overrightarrow{\mathit{TP}}=\overrightarrow{\mathit{TQ}}$, 求实数 $t$ 的取值范围。

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ,下部分的形状是正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P{O}_1$ 的四倍.

(1)若 $\mathit{AB}=6m\mathrm{，}{\mathrm{PO}}_1=2m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6\mathrm{m}$ ，则当 $P{O}_1$ 为多少时,仓库的容积最大？

如图，在直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $D,E$ 分别为 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1}B$ 上, 且 $B_{1}D\perp A_{1}F\mathrm{}\mathrm{，}\mathrm{}{A}_1{C}_1\perp A_1{B}_1\mathrm{。}$

求证:（1）直线 $\mathit{DE}//$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

(2) 平面 $B_1\mathit{DE}\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；