高中数学试题

已知函数 $f\left(x\right)$ =│ x+1│-│ x-2│.

（1）求不等式 $f\left(x\right)$ ≥1的解集；

（2）若不等式 $f\left(x\right)$ ≥ x ²- x+ m的解集非空，求实数 m的取值范围.

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2+t,\\ y=\mathit{kt},\end{array}\right.$（t为参数），直线l₂的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-2+m,\\ y=\frac{m}{k},\end{array}\right.（m\mathit{为参数）}$.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_3:\rho \left(\mathit{cos}\theta +\mathit{sin}\theta \right)-\sqrt{2}=0$，M为l₃与C的交点，求M的极径.

已知函数 $f\left(x\right)=x-1-a\mathit{ln}x$．

（1）若 $f\left(x\right)\ge 0$，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n， $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})\cdots (1+\frac{1}{2^n})<m$，求m的最小值．

已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点 $P\left(4,-2\right)$，求直线l与圆M的方程.

如图，四面体 ABCD中， $△ABC$是正三角形， $△ACD$是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD，AB=BD$．

（1）证明： $\mathrm{平面}ACD\perp \mathrm{平面}ABC$；

（2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$的余弦值.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 的对边分别为 $a,b,c,$ 已知 $\mathit{sin}A+\sqrt{3}\mathit{cos}A=0,a=2\sqrt{7},b=2$ .

（1）求角 $A$ 和边长 $c$ ；

（2）设 $D$ 为 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 ,求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积.

a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+1，x\le 0，\\ 2^x，x>0，\end{array}\right.$则满足 $f\left(x\right)+f(x-\frac{1}{2})>1$的x的取值范围是____________.

设等比数列 $\left\{a_n\right\}$满足a₁ + a₂ = –1, a₁ – a₃ = –3，则a₄ = ___________．

已知实数 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y\ge 0\\ x+y-2\le 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$，则 $z=3x-4y$最小值为________．

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\stackrel{⃑}{\text{AP}}$ = $\lambda$ $\stackrel{⃑}{\text{AB}}$ + $\stackrel{⃑}{\text{AD}}$ ，则 $\lambda$ + $\mu$ 的最大值为（   ）

A．

3

B．

2 $\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{5}$

D．

2

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ （   ）

A．

$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

1

已知椭圆 C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 A ₁， A ₂，且以线段 A ₁ A ₂为直径的圆与直线 $\mathit{bx}-\mathit{ay}+2\mathit{ab}=0$ 相切，则 C的离心率为（   ）

A．	$\frac{\sqrt{6}}{3}$	B．	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C．	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	D．	$\frac{1}{3}$

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $1$ ，公差不为 $0$ ．若 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $a_6$ 成等比数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $6$ 项的和为（    ）

A．

$-24$

B．

$-3$

C．

$3$

D．

$8$