高中数学试题

已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（   ）

A．	$\pi$	B．	$\frac{\text{3}\text{π}}{4}$
C．	$\frac{\pi }{2}$	D．	$\frac{\pi }{4}$

执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于91，则输入的正整数 N的最小值为（   ）

A．

5

B．

4

C．

3

D．

2

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{cos}(x+\frac{\pi }{3})$ ，则下列结论错误的是（ ）

A．	$f\left(x\right)$ 的一个周期为 $-2\pi$	B．	$y=f\left(x\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{8\pi }{3}$ 对称
C．	$f\left(x+\pi \right)$ 的一个零点为 $x=\frac{\pi }{6}$	D．	$f\left(x\right)$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 单调递减

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ ，且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 有公共焦点.则 C的方程为（    ）

A．	$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$	B．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
C．	$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$	D．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

( $（x+y\left)\right(2x-y{)}^5$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为（   ）

A．

-80

B．

-40

C．

40

D．

80

某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（   ）

A．	月接待游客量逐月增加
B．	年接待游客量逐年增加
C．	各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．	各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

设复数 z满足 $\left(1+i\right)z=2i$ ，则 $\mid z\mid =$ （   ）

A．	$\frac{1}{2}$	B．	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C．	$\sqrt{2}$	D．	2

已知集合 $A=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=1\right.\right\}$ ， $B=\left\{(x,y)\left|y=x\right.\right\}$ ，则 $A\cap B$ 中元素的个数为（ ）

A．

3

B．

2

C．

1

D．

0

设 n为正整数，集合 A= $\left\{\alpha \right|\alpha =\left(t_1,t_2,\cdots ,t_n\right),t_k\in \left\{0,1\right\},k=1,2,\cdots ,n\}$ ．对于集合 A中的任意元素 $\alpha =\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\beta =\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ ，记

M（ $\alpha ，\beta$ ）= $\frac{1}{2}\left[\left(x_1+y_1-\left|x_1-y_1\right|\right)+\left(x_2+y_2-\left|x_2-y_2\right|\right)+\cdots +\left(x_n+y_n-\left|x_n-y_n\right|\right)\right]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $\alpha =\left(1,1,0\right)$ ， $\beta =\left(0,1,1\right)$ ，求 M（ $\alpha ,\alpha$ ）和 M（ $\alpha ,\beta$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $\alpha ,\beta$ ，当 $\alpha ,\beta$ 相同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是奇数；当 $\alpha ,\beta$ 不同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $\alpha ,\beta$ ， M（ $\alpha ，\beta$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

已知抛物线C： $y^2$=2px经过点 $P$（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点， $\stackrel{⃑}{\mathit{QM}}=\lambda \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$， $\stackrel{⃑}{\mathit{QN}}=\mu \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$，求证： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$为定值．

设函数 $f\left(x\right)$=[ $a{x}^2-\left(4a+1\right)x+4a+3$] $e^x$．

（1）若曲线在点（1， $f\left(1\right)$）处的切线与 $x$轴平行，求 $a$；

（2）若 $f\left(x\right)$在 $x=2$处取得极小值，求 $a$的取值范围．

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" ${\xi }_k=1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" ${\xi }_k=0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D{\xi }_1$ ， $D{\xi }_2$ ， $D{\xi }_3$ ， $D{\xi }_4$ ， $D{\xi }_5$ ， $D{\xi }_6$ 的大小关系．

如图，在三棱柱 ABC− $A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A{A}_1$ ， AC， $A_1{C}_1$ ， 的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A{A}_1$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

已知椭圆 $M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，双曲线 $N：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．