高中数学试题

若 $f\left(x\right)=\text{cos}x-\text{sin}x$ 在 $\left[-a,\mathit{\hspace{0.33em}a}\right]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是(　　)

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\frac{3\pi }{4}$

D．

$\pi$

在正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E$ 为棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{CD}$ 所成角的正切值为(　　)

A．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

D．

为计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．	$i=i+1$
B．	$i=i+2$
C．	$i=i+3$
D．	$i=i+4$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{cos}\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,BC=1,AC=5，则AB=(　　)

A．

$4\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{30}$

C．

$\sqrt{29}$

D．

$2\sqrt{5}$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为(　　)

A．

B．

$y=\pm \sqrt{3}x$

C．

$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

D．

$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$

从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．

$0.6$

B．

$0.5$

C．

$0.4$

D．

$0.3$

已知向量 $\stackrel{⃑}{a},\stackrel{⃑}{b}$ 满足 $\left|\stackrel{⃑}{a}\right|=1$ ， $\stackrel{⃑}{a}\cdot \stackrel{⃑}{b}=-1$ ，则 $\stackrel{⃑}{a}\cdot (2\stackrel{⃑}{a}-\stackrel{⃑}{b})=$ (　　)

A．

4

B．

3

C．

2

D．

0

函数 $f\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为 (　　)

A．		B．
C．		D．

已知集合 $A=\left\{1,3,5,7\right\}$ ， $B=\left\{2,3,4,5\right\}$ ，则 $A\cap B=$ (　　)

A．

$\left\{3\right\}$

B．

$\left\{5\right\}$

C．

$\left\{3,5\right\}$

D．

$S_n$

$i\left(2+3i\right)=$ (　　)

A．

$3-2i$

B．

$3+2i$

C．

$-3-2i$

D．

$-3+2i$

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|$ ．

（1）画出 的图像；

（2）当 $x\in [0,+\infty )$ ， $f\left(x\right)\le \mathit{ax}+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\mathit{cos}\theta ，\\ y=\mathit{sin}\theta \end{array}\right.$（ $\theta$为参数），过点 $\left(0\hspace{0.33em}，-\sqrt{2}\right)$且倾斜角为 $\alpha$的直线 $l$与 $\odot O$交于 $A\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}B$两点．

（1）求 $\alpha$的取值范围；

（2）求 $\mathit{AB}$中点 $P$的轨迹的参数方程．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+x-1}{e^x}$．

（1）求曲线在点 $\left(0,-1\right)$处的切线方程；

（2）证明：当 $a\ge 1$时， $f\left(x\right)+e\ge 0$．

已知斜率为 $k$的直线 $l$与椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于 $A$， $B$两点．线段 $\mathit{AB}$的中点为 $M(1,m)(m>0)$．

（1）证明： $k<-\frac{1}{2}$；

（2）设 $F$为 $C$的右焦点， $P$为 $C$上一点，且 $\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}+\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}=\stackrel{⃑}{0}$．证明： $2\left|\stackrel{⃑}{\mathit{FP}}\left|=\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FA}}\left|+\right|\stackrel{⃑}{\mathit{FB}}\right|$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 所在平面与半圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $\mathit{AMD}\perp$ 平面 $\mathit{BMC}$ ；

（2）在线段 $\mathit{AM}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{MC}\parallel$ 平面 $\mathit{PBD}$ ？说明理由．