高中数学试题

（本小题满分12分）已知函数（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数在定义域内存在零点， 求的取值范围．
（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围．

已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列．

（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）试探究是否为定值？若是，求出这个值；否 则求出它的取值范围．

（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱的各条棱长均为，是侧棱的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小．

（本小题满分12分）2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿。某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：，，，，，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
（2）现在从年龄属于和的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率。

已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.

已知ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2
P

并且，则方差（ ）
A．           B．          C．           D．7

（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且．

（1）若，求的值；
（2）若也是单位圆上的点，且．过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值．

（本小题12分）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC长为5．
（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形。
（2）为何值时，是等腰三角形，并求此时三角形的周长。

已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

设函数是定义域为的奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且在上的最小值为，求的值．

（本小题满分14分）已知数列中，，，2，3，…
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）试比较的大小；
（Ⅲ）求正整数，使得对于任意的正整数恒成立．

（本小题满分14分）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间、极大值和极小值．
（Ⅱ）若时，恒有，求实数的取值范围．

（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．
（I）求圆的方程；
（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

（本小题满分12分）已知椭圆C:过点，离心率为，点分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数在[0，+∞）上的最大值；
（3）设a＞1，b＞0，求证：．