高中数学试题

（本小题满分14分）已知数列满足，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：．

（本小题满分14分）已知椭圆（）的长轴长为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

（本小题满分14分）设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

（本小题满分12分）已知向量，．
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t, 使，满足试求此时的最小值．

（本小题满分14分）设函数.
（1）当时，求的极值；
（2）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

（本小题满分13分）已知数列满足，，数列的前n项和为,
，其中．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

已知函数
（1）时，求函数定义域；
（2）当时，函数有意义，求实数的取值范围；
（3）时，函数的图像与无交点，求实数的取值范围．

某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用表示该厂生产这种产品的总件数，则电
力与机器保养等费用为每件元，又该厂职工工资固定支出12500元。
（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的
销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？总利润
最高为多少？（总利润总销售额总成本） 

一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段和矩形的三边组成，拱的顶部距离水面，水面上的矩形的高度为，水面宽，如图所示．一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上．已知船宽，船面距离水面，集装箱的尺寸为长×宽×高=．试问此船能否通过此桥？并说明理由．

设动点到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆过，且圆心在的轨迹上，是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长是否为定值？说明理由；
（3）过做互相垂直的两直线交曲线于，求四边形面积的最小值．

如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P（，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为         ；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为         。        

说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

（本小题共13分）已知数列的前项和满足，，．
（Ⅰ）如果，求数列的通项公式；
（Ⅱ）如果，求证：数列为等比数列，并求；
（Ⅲ）如果数列为递增数列，求的取值范围．

（本小题满分13分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：
①      ②存在实数，使．（为正整数）
（Ⅰ）在只有项的有限数列，中，其中，，，，，
，，，，，试判断数列，是否为集合的元素；
（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，，证明数列；并求出的取值范围.

已知正项数列，，且
（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，若，仍是中的项，求在区间中的所有可能值之和；
（3）若将上述递推关系改为：，且数列中任意项，试求满足要求的实数的取值范围