高中数学试题

（本小题满分12分）如图所示，抛物线C₁：x²＝4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆，C₂：相交于C，D两点．

（Ⅰ）求抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂的左焦点F₁的距离；
（Ⅱ）设点P到直线AB的距离为d，是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

（本题13分）已知数列中，，，当时，．
（1）求证为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若若，，试求实数、的取值范围．

（本小题满分14分）已知，设函数．
（Ⅰ）若在（0, 2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）若为自然对数的底数）对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．

（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}的公比，前n项和为S_n，S₃=7，且，，
成等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，，其中N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；    
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，，，求集合C中所有元素之和．

（本小题满分14分）给定正奇数，数列：是1，2，…，的一个排列，定义E（，…，）为数列：，，…，的位差和.
（1）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；
（2）若位差和E（，，…，）=4，求满足条件的数列：，，…，的个数；
（3）若位差和，求满足条件的数列：的个数.

已知，函数的零点从小到大依次为，.
（Ⅰ）若（），试写出所有的值；
（Ⅱ）若，，，求证： ；
（Ⅲ）若，，，试把数列的前项及按从小到大的顺序排列。（只要求写出结果）.

在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,,,且,,.

（Ⅰ）若与交于点,求证: 平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

（本小题满分13分）
若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．
（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；
（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.

已知等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．
（1）求数列,的通项公式；
（2）设， 求数列的前项和．

已知函数，各项均不相等的有限项数列的各项满足．令，且，例如：．
（Ⅰ）若，数列的前n项和为S_n，求S₁₉的值；
（Ⅱ）试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
①存在数列使得；②如果数列是等差数列，则；
③如果数列是等比数列，则。

（本小题满分13分）已知等比数列的公比，前n项和为且成等差数列，数列的前n项和为，其中。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，,求集合中的所有元素之和。

如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形的面积不改变；
③棱始终与水面平行；
④当时，是定值．
其中正确说法是              ．

（本小题满分12分）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

已知椭圆的焦点坐标是，，过点垂直于长轴的直线交椭圆与两点, 且. 
（1）求椭圆的方程.
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点, 则的内切圆面积是否存在最大值?若存在, 则求出这个最大值及此时的直线方程; 若不存在,请说明理由.

已知函数，（其中是自然对数的底数）。
（1）若，求函数在上的最大值；
（2）若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，，不等式都成立，求实数的取值范围。