高中数学试题

（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在上的单调性；
（Ⅱ）设，且，求的值．

（本小题满分18分）已知数列，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设，其中为常数，且，
，求.

（本小题满分14分）已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由.

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知动点到两个定点，的距离的和为定值．
（1）求点运动所成轨迹的方程；
（2）设为坐标原点，若点在轨迹上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．

已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ）

A．

B．

C．

D．

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于点（点在第一象限）．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知为曲线的左顶点，平行于的直线与曲线相交于两点．判断直线是否关于直线对称，并说明理由．

数列的通项，其前n项和为，则为_______.

（本小题12分）已知如图，圆和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的点，.

（1）当直线的斜率为时，求线段的长；
（2）设点和点关于直线对称，问是否存在圆的切线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；
（ⅱ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明：，．

香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失亿港元，相等于平均每名港人承受了万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足（其中,为正常数）.现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用）,产品的销售价格定为万元/万件.
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
（2）促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为（其中
）．△的面积为, 以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列, 求
的取值范围．

已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为        ．

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
（文）对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．
（1）写出曲线的外确界与内确界；
（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．

（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．

已知数列的前项和为，且＝，数列中，， 点（）在直线上．
（1）求数列的通项和；
（2）设，求数列的前n项和，并求满足的最大正整数．