高中数学试题

（本大题13分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足．

（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围．

已知：矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为： ，点在边所在直线上.
（1）求矩形外接圆的方程。
（2）是圆的内接三角形，其重心的坐标是,求直线的方程 .

（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）动直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且． 求四边形面积；
（Ⅲ）过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点和，设直线与的斜率分别为、，若，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．

（本小题满分14分）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求的方程.

（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量	1	1．5	2
天数	10	25	15
频率	0．2	a	b

 
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．

（本小题满分16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R），
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k为整数；
（Ⅱ）设x₀为f（x）的一个极值点，证明 ；
（提示）
（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂， ，a_n， ，证明.

设和是函数的两个极值点，其中，.
（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；
（2）求的取值范围；
（3）若，求的最大值（是自然对数的底数）.

函数.
（1）函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.

【原创】已知函数，（a、b为常数）．
（1）求函数在点（1，）处的切线方程；
（2）当时，设，若函数在区间上存在极值点，求实数b的取值范围；

（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA²＋PB²的值与点P的位置无关，求k的值．

（本小题满分12分）已知椭圆，其中是椭圆的右焦点，焦距为2，直线与椭圆交于点，点的中点横坐标为，且（其中）．
（1）求椭圆的标准方程； 
（2）求实数的值．

【改编】设函数,
（Ⅰ）若时，求曲线单调区间；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

（本小题14分）如图，已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点满足条件：、、成等差数列．

（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围．

已知数列的前n项和为，设数列满足．
（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；
（2）若，，且数列，都是以2为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数n的集合．

（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线互相垂直．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设 ， ．问：是否存在正常数，对任意给定的正整数，都有成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．