高中数学试题

（本小题满分12分）设数列的首项为1，前n项和为S_n，且（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，求．

（本小题满分13分）已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线与点P的轨迹W相交于M，N两点（M，N均在y轴右侧），点、，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．

已知椭圆C：的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若，求证为定值．

已知函数，
（1）求证： ;
（2）设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；
（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立.

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（    ）                                    

A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．椭圆

（本小题满分13分）设数列满足：
①；
②所有项；
③．
设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（Ⅰ）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；
（Ⅱ）设，求数列的伴随数列的前30项之和；
（Ⅲ）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列
的前项和．

（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．

已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点．若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 （   ）．

A．

B．

C．

D．

（本小题12分）在正三棱柱中，底面三角形ABC的边长为,侧棱的长为，D为棱的中点.

①求证：∥平面
②求二面角的大小
③求点到平面的距离.

（1）（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知某点，直线.求证：点P到直线的距离
（2）（本小题7分）已知抛物线C: 的焦点为F，点P（2，0），O为坐标原点，过P的直线与抛物线C相交于A，B两点，若向量在向量上的投影为n，且，求直线的方程.

（本小题12分）在正三棱柱中，底面三角形ABC的边长为，侧棱的长为，D为棱的中点.

（1）求证：∥平面
（2）求二面角的大小
（3）求点到平面的距离.

（本小题满分12分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．

（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．

（本小题满分12分）已知正项数列的首项，前项和满足．
（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

已知离心率为的椭圆 的右焦点F是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N（与P点不重合）两点．

（1）求椭圆方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．