高中数学试题

已知圆C：（x－1）²＋（y－1）²＝2经过椭圆Γ∶ （a>b>0）的右焦点F和上顶点B.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．

（本小题满分13分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，且的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上．

（本小题满分13分）已知为等差数列，且，数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求证：．

（本小题满分13分）
设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”。
（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”，使得成立。

在平面直角坐标系中，已知点A在椭圆上，点P满足 ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为          .

（本小题满分14分）
（1）若是的一个极值点，求的单调区间；
（2）证明：若；
（3）证明：若．

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）求证：数列{}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n+a_n=l（n∈N^*），S=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，试比较a_n与8S_n的大小．

（本题12分）已知二次函数满足条件，且方程有两个相等的实根，求的解析式和值域.

（本小题12分）已知数列的前n项和（其中为常数）,且="4" =8.
（1）求；
（2）求数列的前项和.

已知直线交双曲线于不同两点，若点是线段的中点，求直线的方程及线段的长度

（本小题满分14分）已知,,,其中.
（1）若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值；
（2）若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且 ，,求的值；
（3）当时,若,是的两个极值点,当时,求证:.

（本小题满分13分）设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值.
（2）是否存在经过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|F₂C|＝|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q（2，）在椭圆上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围.
（3）过M（）的直线:与过N（）的直线:
的交点P（）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求·的值.

已知椭圆过点，其焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

图（1）                               图（2）

（本小题15分）设动点 到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆M过，且圆心M在P的轨迹上，是圆Ｍ在轴上截得的弦，当圆心M运动时弦长是否为定值？说明理由；
（3）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面积的最小值．