高中数学试题

（本小题满分12分） 过椭圆的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点
M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、分别于点、.

（1)求证：；
（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.

已知函数定义域是，且，，当时，．
（1）证明：为奇函数；
（2）求在上的表达式；
（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由．

（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的椭圆的右焦点任作一条斜率为（）的直线交椭圆于A，B两点，问在右侧是否存在一点D，连AD、BD分别交直线于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）数列中，已知，时，．数列满足：．
（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）在中，．
（Ⅰ）求重心G的轨迹方程
（Ⅱ）设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值．

（本小题满分14分）如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 

（本题共12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）如图所示，已知三棱柱，点在底面上的射影恰为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形，DA面SAB，DC//AB，AB=2AD=2DC，O，E分别为AB、SD中点.

（1）求证：SO//面AEC BC面AEC
（2）求二面角O—SD—B的余弦值.

（本小题满分12分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线合成，为椭圆左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积之比为，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

（本题共12分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与直线交于点．试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.

（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若成等差数列，求直线的方程.

已知函数
（1）若=1，解不等式
（2）若a=1，当时，恒成立，求的取值范围

已知函数.
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）过坐标原点可以坐几条直线与曲线y＝f（x）相切？说明理由.