高中数学试题

已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）若过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交y轴于点，且求证：为定值

（本小题满分14分）已知函数，数列的前项的和为，点均在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.

（满分12分）设命题P：关于的不等式：的解集是R，命题Q：函数的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求的取值范围。

已知函数．
（1）若函数在处取极值，求的值；
（2）如图，设直线将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；

（3）比较与的大小，并说明理由．

（本小题满分10分）（选修4-4极坐标与参数方程选讲）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C₁，直线C₂的极坐标方程分别为，＝．
（1）求C₁与C₂交点的极坐标；
（2）设P为C₁的圆心，Q为C₁与C₂交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为 （t∈R为参数），求a，b的值．

（本小题满分12分）设函数
（Ⅰ）设，讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）过两点的直线的斜率为，求证：

（本小题满分14分）已知函数，其中常数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值点；
（Ⅱ）证明：对任意恒成立；
（Ⅲ）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）,使得在点M处的切线∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．
试问：当时，对于函数图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．

（本小题满分12分）已知椭圆：（）的长半轴长为2，离心率为，左右焦点分别为，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，与以，为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程．

（本小题满分14分）设曲线在点处的切线斜率为，且。对一切实数，不等式恒成立
（Ⅰ）求的值。
（Ⅱ）求函数的表达式；
（Ⅲ）求证：

（本小题满分16分）已知函数的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式≤k－1991对于恒成立；
（3）求证：≤．

（本小题满分14分）已知函数,若函数在点处的切线与直线相互垂直.
（1）求的值.
（2）求函数的最大值.
（3）证明:对于任意的,都有成立.

已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的取值范围；
（Ⅱ）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数对任意的x∈，有恒成立，求实数的最小值.

已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的取值范围；
（Ⅱ）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数对任意的x∈，有恒成立，求实数的最小值.

已知不等式组的解集是，且存在，使得不等式成立．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）求实数的取值范围．

设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
（Ⅲ）过的直线与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．